分配多元環

分配多元環の概要

分配多元環、または非結合多元環とは、体（可換環）Kの上に定義された線型空間（一般的には加群）Aのことを指します。この構造は、Aに対してK-双線型写像A × A → Aが存在し、これによりA上に乗法演算が定義されます。異なる順序での乗法が結果に影響を与えるため、括弧を用いて演算の順序を明確にすることが重要です。たとえば、(ab)(cd)や(a(bc))d、そしてa(b(cd))などはそれぞれ異なる計算結果をもたらします。

分配多元環の特徴は、乗法の結合性が仮定されていないことにあります。このため、「非結合的」という表現は、「必ずしも結合的でない」という意味合いを持ち、それにより構造が複雑化します。これは、非可換環が「必ずしも可換でない」と同様の理由で「非可換」と呼ばれることと同義です。

操作と包絡環

Aの元に対して左または右からの掛け算を行うと、それぞれK-線型変換（左移動操作Lと右移動操作R）を引き起こします。
また、分配多元環Aの包絡環、すなわちAの自己準同型環の部分環は、Aの左移動および右移動によって生成されます。この包絡環は、Aが非結合的であっても常に結合的です。この特性により、包絡環は「Aを含む最小の結合多元環」と呼ばれることができます。

恒等関係式と特性

分配多元環のタイプはさまざまですが、乗法を単純化する恒等式を満たすものが多く知られています。例えば、以下のような特性が挙げられます：

• - 結合性: (xy)z = x(yz)
• - 対称性: xy = yx
• - 反対称性: xy = −yx
• - ヤコビ恒等式: (xy)z + (yz)x + (zx)y = 0
• - ジョルダン恒等式: (xy)x² = x(yx²)
• - 冪結合性: xᵐxⁿ = xⁿ⁺ᵐ（m, nは非負整数）
• - 交代結合性: (xx)y = x(xy) かつ (yx)x = y(xx)
• - 柔軟性: x(yx) = (xy)x

これらの性質の関係は興味深く、例えば「結合的」な多元環は自動的に「交代結合的」または「冪結合的」になります。反対に、ある性質を持つ場合でも他の性質を満たすとは限りません。特に、標数が2でない体においては、対称かつ反対称であれば、その多元体は{0}に等しいことが示されます。

実際の例

分配多元環の具体的な例として、三次元ユークリッド空間R³におけるベクトルの交叉積があります。これは反対称的かつ非結合的な多元環であり、ヤコビの等式も満たします。さらに、リー多元環（リー代数）も反対称的でありながらヤコビの等式を満たす多元環の一例です。

また、ジョルダン多元環（ジョルダン代数）は可換性を持ち、ジョルダン恒等式を満たしています。さらに、任意の結合多元環は、特定の状態でリー多元環を形成することができます。実際、全てのリー多元環はこの方法で得られるか、あるいはそれらの部分リー多元環になります。

さらなるクラス

多元環には他にも多くのクラスが存在します。例えば、次数多元環や可除多元環、二次代数などです。これらはそれぞれ特有の性質や構造を持ち、数学における多様な応用を支えています。特に、ケイリー・ディクソン代数やポアソン代数、遺伝代数などもさまざまな分野で重要な役割を果たしています。これらの構造は、数学的な理論や物理学的な応用において幅広く用いられています。

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