自己準同型環

自己準同型環

自己準同型環（Endomorphism ring）とは、抽象代数学において、アーベル群 X の自己準同型写像の全体からなる集合です。この環は、群の性質を反映し、加法や乗法が定義されます。自己準同型環の重要な特徴は、準同型写像の和と合成に基づいてその構造が形成されている点です。

定義と構成

ここで、アーベル群 (A, +) を考えます。この群内の準同型写像に着目し、2つの準同型 f と g が存在する時、和を次のように定義します。

$$(f + g)(x) := f(x) + g(x)$$

この和は新たな準同型を形成し、自己準同型環 End(A) はアーベル群としての性質を持つことが示されます。また、準同型の合成は以下のように定義されます。

$$(fg)(x) := f(g(x))$$

加法の単位元は一般的に零写像であり、乗法の単位元は群 A の恒等写像 idA です。

ところが、集合 A がアーベル群でない場合、上記のような和は必ずしも準同型を確保するわけではなく、自己準同型からなるこの集合は環ではなく、重要な性質を持った near-ring になります。

性質

自己準同型環は常に加法と乗法の単位元を持ち、これらは零写像と恒等写像となる。さらに、自己準同型環は結合的ですが、一般には非可換であるという性質も持ちます。加群が単純な場合、その自己準同型環は可除環の形式を取ります。これはシューアの補題と呼ばれることが多いです。

加群が直既約である条件は、その自己準同型環が非自明な冪等元を持たないことに等しいです。また、移入加群の直既約さと自己準同型環が局所環であることは同値となります。特に、半単純加群に関しては、その自己準同型環はフォン・ノイマン正則環に相当します。

0でない右単列加群の自己準同型環は通常、一つまたは二つの極大右イデアルを有します。加群がアルティン的、ネーター的、射影的、移入的のいずれかの性質を持つ場合、自己準同型環は唯一の極大イデアルを持つことから局所環に分類されます。

さらに、単位的環においては、End(RR) = R という関係が成り立ちます。これは R の元が左からの積として作用することを反映しています。一般に、自己準同型環は任意の前加法圏の対象に対して自然に定義される構造です。

具体例

R-加群の圏において、自己準同型環は R-準同型から成り、その多くはアーベル群としての自己準同型環の部分集合に相当します。例えば、M が有限生成射影加群であるとき、自己準同型環は加群の圏において非常に重要な役割を果たします。具体的には、 $$End(egin{pmatrix} ext{Z}_2 \ ext{Z}_2 \\ ext{+} ext{ } ext{+} ext{ } ext{+} ext{ } ext{+} ext{ } ext{+} ext{ } ext{+} ext{ } ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} ext{+} \end{pmatrix}, +) ≅ M_{2} ( ext{Z}_2)$$ が成り立ちます。

また、体 K 上の数ベクトル空間 Kn の自己準同型環は、すべての K-線型写像で構成されるため、K-多元環として扱えます。基底を選定すれば、この環は自然に K 係数の n 次全行列環と同一視されます。最後に、自己準同型環はその文脈に応じて多様な性質を示す重要な概念であり、抽象代数学における深い理論的機構を提供します。

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