列空間

行列の列空間：定義、計算方法、基底、次元、そして他の基本部分空間との関係

線形代数において、行列の列空間は重要な概念です。この記事では、行列の列空間とその性質について、具体例を用いて詳しく解説します。

列空間とは？

m行n列の行列Aを考えます。行列Aの列ベクトルをv₁, v₂, ..., vₙとします。これらの列ベクトルの線形結合で表されるベクトルの集合を、行列Aの列空間C(A)といいます。

より正確には、任意のスカラーc₁, c₂, ..., cₙを用いて、

`c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ`

と表されるベクトルの集合が列空間です。これは、列ベクトルv₁, v₂, ..., vₙによって張られる部分空間とも言い換えられます。

列空間は、行列Aに対応する線形変換の像（値域）と一致します。つまり、n次元ベクトルxに対してAxで表されるm次元ベクトルの集合が、列空間C(A)になります。

列空間の計算例

具体的な例で考えてみましょう。以下の3行2列の行列Aについて、列空間を求めてみます。

`A = 1, 0], [0, 1], [2, 0`

この行列の列ベクトルは、v₁ = (1, 0, 2)ᵀとv₂ = (0, 1, 0)ᵀです。列空間は、これらの線形結合で表されるベクトルの集合なので、

`c₁v₁ + c₂v₂ = c₁(1, 0, 2)ᵀ + c₂(0, 1, 0)ᵀ = (c₁, c₂, 2c₁)ᵀ`

となります。ここで、c₁とc₂は任意のスカラーです。これは、三次元空間R³におけるz = 2xという平面を表しています。つまり、行列Aの列空間は、R³における原点を通る特定の平面となります。

列空間の基底

列空間を張るベクトルは複数存在しますが、その中で線形独立なベクトルの集合を基底といいます。列空間の基底を求めるには、ガウスの消去法を用いるのが一般的です。

例えば、以下の行列Aを考えます。

`A = 1, 3, 1, 4], [2, 7, 3, 9], [1, 5, 3, 1], [1, 2, 0, 8`

この行列を行基本変形を用いて行簡約階段形に変換することで、線形独立な列ベクトルを見つけ、それらを基底とすることができます。結果として、Aの列空間の基底は3つのベクトルからなります。具体的には、行簡約階段形においてピボット列に対応する元の行列Aの列ベクトルが基底となります。

列空間の次元

列空間の次元は、行列の階数(rank)と等しくなります。階数は、行簡約階段形におけるピボットの数、または線形独立な列ベクトルの最大数です。上の例では、階数は3です。

列空間と他の基本部分空間との関係

行列には、列空間以外にも、行空間、零空間、左零空間という基本部分空間が存在します。これらの部分空間は互いに密接に関連しています。特に、列空間とその直交補空間は左零空間になります。

環上の行列

これまでの議論は、実数や複素数の体上で行列を考えた場合に適用されます。しかし、環上の行列に対しても、同様の方法で列空間を定義することができます。ただし、ベクトルのスカラー倍の順序に注意が必要です。

まとめ

この記事では、行列の列空間について、その定義、計算方法、基底、次元、そして他の基本部分空間との関係を説明しました。列空間は線形代数における重要な概念であり、線形変換や連立一次方程式などの理解に不可欠です。

もう一度検索