直交補空間

直交補空間：線形代数と関数解析学における重要な概念

線形代数と関数解析学において、直交補空間 (orthogonal complement) は、ベクトル[[空間]]の部分空間に対する重要な概念です。直交補空間は、ある部分空間内の全てのベクトルと直交するベクトルの集合として定義されます。直交補空間自身もまたベクトル[[空間]]の部分空間となります。

一般の双線型形式

体F上のベクトル[[空間]]Vに双線型形式Bが定義されているとします。ベクトルuとvについて、B(u,v) = 0となるとき、uはvに左直交、vはuに右直交であるといいます。Vの部分集合Wに対して、左直交補空間 W⊥は次のように定義されます。

W⊥ = {x ∈ V | B(x,y) = 0, ∀y ∈ W}

同様に、右直交補空間も定義できます。双線型形式Bが反射的（B(u,v) = 0 ⇒ B(v,u) = 0）である場合、左直交補空間と右直交補空間は一致します。対称双線型形式や歪対称双線型形式は反射的です。この定義は、可換環上の自由加群や半双線型形式へ拡張できます。

直交補空間の性質

直交補空間はいくつかの重要な性質を持ちます。

直交補空間はVの部分空間です。
X ⊆ Yならば、X⊥ ⊇ Y⊥
Vの根基V⊥は任意の直交補空間の部分空間です。
W⊥⊥ ⊇ W
Bが非退化でVが有限次元ならば、dim W + dim W⊥ = dim V

例：特殊相対性理論

特殊相対性理論において、直交補空間は世界線のある点における同時超平面を決定するために用いられます。ミンコフスキー空間における双線型形式ηは、事象の擬ユークリッド空間を決定します。光円錐上の原点とすべての事象は自己直交です。時間事象と空間事象が双線型形式のもとでゼロと評価されるとき、それらは双曲直交です。この用語は、擬ユークリッド空間における二つの共役双曲線の使用に由来します。

内積空間

内積空間では、直交補空間は実際に補空間となります。距離位相において、直交補空間は常に閉集合です。有限次元空間では全ての部分空間が閉集合ですが、無限次元ヒルベルト空間ではそうとは限りません。しかし、直交補空間は常に閉集合です。

Hをヒルベルト空間、XとYをその線形部分空間とすると、以下の性質が成り立ちます。

X⊥⊥ = X
X⊥ = X⊥
Y ⊆ Xならば、X⊥ ⊆ Y⊥
X ∩ X⊥ = {0}
X ⊆ (X⊥)⊥
XがHの閉線形部分空間ならば、(X⊥)⊥ = X
XがHの閉線形部分空間ならば、H = X ⊕ X⊥

直交補空間は零化域へ一般化され、内積空間の部分空間上のガロア対応を与えます。

有限次元内積空間

次元nの有限次元内積空間において、k次元部分空間の直交補空間は(n-k)次元部分空間であり、二重直交補空間はもとの部分空間と等しくなります。(W⊥)⊥ = W

バナッハ空間

バナッハ空間Vにおいても、直交補空間の概念を拡張できます。VをVの双対空間とすると、Wの直交補空間W⊥は次のように定義されます。

W⊥ = {x ∈ V | ∀y ∈ W, x(y) = 0}

これは常にV*の閉部分空間です。二重補性質も成立ちますが、W⊥⊥はV(Vとは一致しない)の部分空間となります。回帰的空間では、VとVの間の自然同型iが存在し、i(W) = W⊥⊥が成り立ちます。これはハーン-バナッハの定理の帰結です。

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