行空間

行空間：線形代数の基礎概念

線形代数学において、行列の行空間は、その行列の各行ベクトルを基底とするベクトル空間です。簡単に言うと、行列の各行ベクトルの線形結合で表せる全てのベクトルの集合です。この概念は、線形方程式系や線形変換の理解に不可欠です。

行空間の定義

体K（例えば、実数全体や複素数全体）上のm×n行列Aを考えます。Aの各行ベクトルをr₁, r₂, ..., rₘとすると、行空間はこれらの行ベクトルの線形結合によって生成されるベクトル空間です。つまり、任意のスカラーc₁, c₂, ..., cₘ ∈ Kに対して、

c₁r₁ + c₂r₂ + ... + cₘrₘ

という形のベクトル全てからなる集合が、行列Aの行空間です。これは、行ベクトルr₁, r₂, ..., rₘによって張られる部分空間とも言い換えられます。

行空間の基底

行空間の基底を見つけるには、ガウスの消去法が有効です。ガウスの消去法によって行列を行基本変形し、行階段形または簡約行階段形に変換します。このとき、非ゼロベクトルに対応する行ベクトルが、行空間の基底となります。

例として、以下の3×3行列Aを考えます。


[ 1 3 2 ]
[ 2 7 4 ]
[ 1 5 2 ]


ガウスの消去法を用いて行階段形に変換すると、例えば以下のようになります。


[ 1 0 2 ]
[ 0 1 0 ]
[ 0 0 0 ]


この場合、行空間の基底は{(1, 0, 2), (0, 1, 0)}となります。簡約行階段形に変換することによって、一意的な基底が得られます。

行空間の次元

行空間の次元は、行列の階数と呼ばれます。これは、線形独立な行ベクトルの最大数に等しく、行階段形における非ゼロ行の数と一致します。先の例では、階数は2です。

重要な定理として、階数・退化次数の定理があります。これは、行列Aの階数(rank(A))と零空間の次元(nullity(A))、および行列Aの列の数nについて、以下の関係が成り立つことを主張しています。

rank(A) + nullity(A) = n

行空間と零空間の関係

行列Aの零空間は、Ax = 0を満たす全てのベクトルxの集合です。零空間のベクトルは、Aの行ベクトル全てと直交します。つまり、行空間と零空間は互いに直交補空間の関係にあります。これは、階数・退化次数の定理の幾何学的解釈を与えます。

行空間と余像の関係

線形変換T: V → Wの核(カーネル)は、T(v) = 0となる全てのベクトルv ∈ Vの集合です。Vが内積空間である場合、核の直交補空間は行空間の一般化と見なすことができ、しばしばTの余像と呼ばれます。余像は、線形変換Tの像への全単射を与えます。Vが内積空間でない場合でも、余像は商空間V/ker(T)として定義されます。

まとめ

行空間は、行列の行ベクトルによって張られるベクトル空間であり、線形代数学における重要な概念です。ガウスの消去法を用いて基底を求め、階数・退化次数の定理を通して零空間との関係を理解することで、線形方程式系や線形変換の性質を深く理解することができます。さらに、余像との関係を理解することで、より抽象的な線形代数の概念への理解も深まります。

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