割線

割線（かっせん、かつせん）とは

初等幾何学において、割線（英: secant line, secant）とは、ある曲線に対し、その曲線と二つ以上の相異なる点で交わる直線のことを指します。英語の "secant" という言葉は、ラテン語で「切る」という意味の "secare" に由来しており、その名の通り、曲線の一部を切り取る直線というイメージです。

円の割線

最も単純な例は円の場合です。円とその割線は、ちょうど二つの点で交わります。この二つの交点を結んでできる線分は、その円の弦と呼ばれます。つまり、円の割線は、円によって切り取られる区間として円の弦をただ一つ定めます。

直線と円の位置関係は、交点の数によって三つに分類されます。二つの点で交わる直線を割線、ちょうど一つの点で交わる直線を接線、そして交点を持たない直線を外線と呼びます。円周上の相異なる二点を結ぶ線分である弦は、必ず一意的な割線に延長することができますし、逆に任意の割線は円によって弦を一意的に切り取ります。

平面幾何学を現代的に厳密に扱う場合、ユークリッドの『原論』では当然のこととして仮定されていたような結果も、通常は証明されます。例えば、「円 C と直線 l が与えられたとき、もし直線 l が C の内側の点 A と外側の点 B を含むならば、直線 l は C の割線である」という定理（Elementary Circular Continuity）がこれにあたります。

また、場合によっては、弦に関する主張を割線に関する表現に統一することで、記述が簡潔になることがあります。その例として、割線・割線定理として知られる以下の命題があります。

与えられた円の弦 AB および CD を含む二つの割線が、円周上にない点 P で交わるならば、線分の長さに関して AP⋅PB = CP⋅PD が成り立ちます。

点 P が円の内側にある場合は『原論』第III巻の35に記述がありますが、点 P が円の外側にある場合については『原論』にはありませんでした。この外側の場合も含めた結果は、後世のユークリッド解説書において示され、現在では割線・割線定理として広く知られています。

一般の曲線の割線

円以外の曲線の割線は、円の場合ほど単純ではありません。相異なる二点で曲線と交わる直線は、さらに他の点でもその曲線と交わる可能性があります。文献によっては「曲線の割線とは曲線と相異なる二点で交わる直線である」と定義することもありますが、この定義ではそれ以外の点で交わる可能性を除外しているわけではありません。したがって、この定義を用いる限り、円の割線も一般の曲線の割線も定義は同一であると考えることができます（円の場合はたまたま他の点で交わらないという性質があるだけです）。

割線と接線の関係

曲線上の特定の点 P において接線が引ける場合、割線を用いてその点における接線を近似することが可能です。曲線上の二点 P と Q を通る割線を考え、P は固定して Q だけを曲線に沿って P に近づけていくとします。このとき、割線 PQ の傾きがある一定値に近づくならば、その極限値が点 P における接線の傾きとなります。これは、微分積分学において微分係数の幾何学的な定義として非常に重要です。

なお、点 P における接線が、接点 P 以外の点でもその曲線と交わる場合、その接線もまた割線であると見なすことができます。これは、「接線である」という性質が接点のすぐ近くでの曲線との関係に依存する「局所的」なものであるのに対し、「割線である」という性質は曲線全体の形状に依存する「大域的」なものである、という理解を助けます。

点集合と多点割線

割線の概念は、ユークリッド空間だけでなく、より一般的な幾何学的設定においても拡張されます。例えば、有限個の点の集合 K が与えられたとき、ある直線が K のn-点割線（n-secant）であるとは、その直線が K に含まれる点をちょうど n 個だけ通る場合に言います。

この用語法は、結合幾何や離散幾何学でよく使われます。例えば、結合幾何におけるシルヴェスター–ガライの定理は、ユークリッド平面上の n 個の点がすべて同一直線上にないならば、その点集合に含まれる二点だけを通る直線（二点割線）が必ず存在することを示しています。また、離散幾何における果樹園植栽問題は、当初、与えられた有限点集合の中からちょうど三点を通る直線（三点割線）の総数の上限を求める問題として定式化されました。この定義において、直線と点集合の交点が有限個である限り、点集合自体が有限である必要はありません。

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