加法単位元

加法単位元：数学における重要な概念

数学、特に抽象代[[数学]]において、加法単位元は非常に重要な役割を果たします。これは、ある集合に定義された加法演算において、他のどの元と加えてもその元の値を変えない特別な元です。最も身近な例は、初等数学で扱う数の0です。しかし、加法単位元の概念は、加法が定義される様々な数学的構造（例えば、加法群や環）に適用されます。環における加法単位元は、しばしば零元と呼ばれます。

初等的な例：数の0

初等数学において、加法単位元は0です。例えば、5 + 0 = 5 = 0 + 5 が成り立ちます。自然数全体(N)、整数全体(Z)、有理数全体(Q)、実[[数]]全体(R)、複素数全体(C)といった集合において、加法単位元は常に0です。これらの集合の任意の元nに対し、n + 0 = n = 0 + n が成り立ちます。これらの集合では、0以外の加法単位元は存在しません。一般的に、加法単位元はただ一つだけ存在します。

厳密な定義

"+"を演算とする集合Nにおいて、加法単位元eとは、Nの任意の元nに対して、e + n = n = n + e を満たすNの元のことです。この定義は、より抽象的な代数系にも拡張できます。

進んだ例：様々な数学的構造における加法単位元

加法的に書かれた群では、加法単位元は群の中立元であり、必ずただ一つ存在します。通常、0で表されます。任意の環や体は、加法演算に関して加法群を成し、従ってただ一つの加法単位元0を持ちます。環（や体）がただ一つの元からなる零環でない限り、加法単位元0は乗法単位元1とは異なります。

以下に具体的な例を示します。

行列: 環R上のm行n列行列の全体は、成分ごとの和に関して加法群を成します。その加法単位元Oは、全ての成分がRの加法単位元0であるm行n列零行列です。例えば、整数係数の2次正方行列の成す環M₂(Z)の加法単位元は、全ての成分が0の2次正方行列です。
四元数: 四元数体においても、数0が加法単位元です。
関数: RからRへの関数の全体は環を成し、その加法単位元は、全ての実[[数]]を0に写す零写像です。
ベクトル: Rⁿのベクトル全体の成す加法群の加法単位元は、原点に対応する零ベクトルです。

加法単位元の性質

一意性

群(G, +)において、もし0と0'が両方とも加法単位元だとすると、0 = 0'が成り立ちます。つまり、加法単位元はただ一つしか存在しません。

零化作用

乗法が加法に対して分配的であるような代数系Sでは、加法単位元0は任意の元を零化します。つまり、任意の元sに対して、s・0 = 0 = 0・sが成り立ちます。

零環と単位元

加法単位元0と乗法単位元1を持つ環Rにおいて、0 = 1となるのはRが零環{0}の場合のみです。したがって、零環でない環では、加法単位元と乗法単位元は常に異なります。

関連概念

加法単位元は、加法逆元、中立元、乗法単位元といった他の代数的構造の概念と密接に関連しています。これらの概念を理解することで、抽象代[[数学]]におけるより深い理解へと繋がります。

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