加法的多項式

加法的多項式

概念の定義

数学において、特に代数的数論の分野、とりわけ標数が素数 p である体 k 上で考察される多項式 P(x) の中で、`P(a + b) = P(a) + P(b)` という関係が変数 a, b に関する多項式としての等式として成り立つものを、「加法的多項式」（additive polynomial）あるいは「フロベニウス多項式」と呼びます。この性質は、体 k を含む無限体（例えば k の代数閉包）上で、任意の元 a, b について `P(a + b) = P(a) + P(b)` が成り立つことと同値です。

定義に関する補足

加法的多項式の定義には、文脈によって微妙な違いが生じることがあります。前述の厳密な定義を「絶対加法的」（absolutely additive）と呼び、それに対して、体 k の全ての元 a, b に対して `P(a + b) = P(a) + P(b)` が成り立つという比較的緩やかな条件を満たすものを単に「加法的」と呼んで区別する場合があります。無限体の上では両者の定義は等価ですが、有限体では区別が必要となり、後者の条件では望ましくない性質を持つ多項式が現れることがあります。例えば、q 個の元を持つ有限体 F_q 上では、多項式 `x^q - x` の任意の定数倍 P(x) は F_q の任意の元 a, b に対して `P(a + b) = P(a) + P(b)` を満たしますが、これは通常、多項式としての等式としては成り立ちません。

なお、標数が 0 である体 k 上でも加法的多項式の概念は定義可能ですが、この場合の加法的多項式は `P(x) = cx` （c は体 k の元）という一次式の定数倍に限られます。

具体例

加法的多項式の最も基本的な例として、多項式 `x^p` が挙げられます。標数が p である体上では、二項定理より任意の元 a, b に対して `(a + b)^p = a^p + b^p` という等式が成り立ちます（これは「一年生の夢」として知られています）。この等式は多項式としての等式としても成立するため、`P(x) = x^p` は加法的です。同様に、任意の非負整数 n に対して、多項式 `x^(p^n)` も加法的性質を持ちます。

これらの例からわかるように、加法的多項式は x の p のべき乗の項のみから構成されるという特徴を持っています。実際、標数 p の体 k 上の加法的多項式 P(x) は、必ず `P(x) = c_0 x + c_1 x^p + c_2 x^(p^2) + ... + c_m x^(p^m)` の形、すなわち `x^(p^n)` (n=0, 1, 2, ...) の k-係数線型結合で表されることが知られています。

加法的多項式の集合がなす環

標数 p の体 k 上の加法的多項式 P(x) と M(x) に対して、これらの和 `P(x) + M(x)` および合成 `P(M(x))` もまた加法的多項式となります。この性質により、標数 p の体 k 上の加法的多項式全体の集合は、多項式の加算と合成を演算として一つの環を形成します。この特別な環は `k{τp}` と表記されることがあります。

注意すべき点として、この環は一般には非可換です。特に、体 k が p 個の元からなる有限体 Fp ではない場合、合成の順序を変えると結果が変わる非可換な加法的多項式の組が存在します。例えば、`P(x) = cx` と `M(x) = x^p` という加法的多項式を考えると、`P(M(x)) = c(x^p) = cx^p` ですが、`M(P(x)) = (cx)^p = c^p x^p` となり、c が Fp の元でない限り `c ≠ c^p` となるため、`P(M(x)) ≠ M(P(x))` となります。

加法的多項式に関する重要な定理

体 k 上の多項式 P(x) が分離多項式（すなわち、根がすべて相異なる）であると仮定します。このとき、P(x) が加法的多項式であることと、その全ての根からなる集合が体 k の加法操作に関して閉じていること、つまり体 k の加法群の部分群をなすことは、互いに必要十分条件となります。これは加法的多項式の根の構造を示す重要な定理です。

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