加群の台

可換環論における加群の台（Support）

可換環論では、可換環 A 上の加群 M の台（support）は、M のローカル化が零でない素イデアルの集合として定義されます。この関係は以下のように表されます：

$$ Supp(M) = \{ p \in Spec A \mid M_{\mathfrak{p}}
eq 0 \} $$

ここで、$ Supp(M) $は加群 M の台を表し、$ Spec A $は A の素イデアルの集合です。この定義により、可換環 A の特定の素イデアルによって、加群 M がどのような振る舞いを示すかを理解することができます。

特に、加群 M がゼロである場合、その台は空であることが示され、これは両者が同値であることを意味します。このため、台の非空性は物質的な情報を提供するため、加群の性質を理解する上で非常に重要です。

また、加群 M の完全列 $ 0 → M' → M → M'' → 0 $ が与えられたとき、台は以下のように分解されます：

$$ Supp(M) = Supp(M') \cup Supp(M'') $$

この性質は、加群の直和や部分加群においても適用され、M が部分加群 $ M_{\lambda} $ の和である場合には、次のように表されます：

$$ Supp(M) = \bigcup_{\lambda} Supp(M_{\lambda}) $$

ここに示された結果は、加群の構造がどのように台に影響を与えるかを示しています。

さらに、M が有限生成の A-加群である場合、台は M の零化イデアルを含むすべての素イデアルの集合として表されます：

$$ Supp(M) = V(Ann(M)) $$

このことは、有限生成加群に関連する台が、有限次元の代数的な構造を持つことを示しています。台は閉集合であるため、これもまた加群の性質を考える際の重要なポイントです。

さらに、もし M と N が共に有限生成の A-加群であるなら、M と N のテンソル積の台は次のように表されます：

$$ Supp(M \otimes_A N) = Supp(M) \cap Supp(N) $$

この関係は、加群の相関関係や相互作用を考える上で非常に役立ちます。具体的には、加群の構造を分析することで、底にある環やイデアルの性質をより深く理解できます。

最後に、M が有限生成の A-加群であり、I が A の任意のイデアルである場合、M を I でモジュレートした加群 $ M/IM $ の台は以下のように表されます：

$$ Supp(M/IM) = V(I + Ann(M)) = V(I) \cap Supp(M) $$

この結果もまた、台の性質が他の要素とどのように結びついているかを示しています。

まとめ

これらの性質が示すのは、可換環上の加群 M の台が持つ多様な性質と、それに関連する理論です。加群の台を調べることで、環の構造やイデアルの性質についての理解が深まることは、代数幾何や数論において非常に重要です。これらの道具は、数学のさまざまな分野で基盤となる理論の構築に寄与しています。

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