零化イデアル

零化イデアルについての詳細

数学における加群論の分野では、零化イデアル（annihilator）は、ある集合の元を「零化」する環のすべての元の集合を指します。この概念は、加群の構造を探求する上で非常に重要な役割を果たします。

定義

環 R と左 R-加群 M を考えます。M の部分集合 S が与えられた場合、S の零化イデアルは次のように定義されます。任意の元 s ∈ S に対して、rs = 0 となるような R の元 r から構成される集合です。この集合は

$$ ext{Ann}_R(S) = \{ r \in R \mid \forall s \in S, rs = 0 \}$$

と表記されます。これは、S を零化する元の集合と考えることができます。また、1つの元 x の場合は通常 $ ext{Ann}_R(x)$ と表記します。

さらに、R 自身も加群として扱えるため、S は R の部分集合として取ることが可能です。この場合、左側と右側の区別が必要であり、それを特定するために表記を調整することがあります。

性質

S が M の部分集合であるとき、Ann(S) は R の左イデアルになります。その理由は、S を零化する要素が合成されても、依然として零化の性質が保持されるからです。また、S が M の部分加群であれば、Ann(S) は両側イデアルにもなります。

おもしろいことに、もし R が可換環であれば、S から生成される部分加群 N に対し、Ann(N) は Ann(S) の部分集合となることが一般に成り立ちます。そして、加群 M が Ann_R(M) = 0 を満たす場合、これは M が忠実加群であることを意味します。

零化イデアルの鎖条件

零化イデアルは、その集合を含む順序関係を持つ完備束を形成し、この構造が昇鎖条件（A.C.C.）または降鎖条件（D.C.C.）を満たすかどうかを考察することが重要です。左零化イデアルの束を $ ext{LA}$、右零化イデアルの束を $ ext{RA}$ と書きます。

さらに、これらの束が満たす条件は相互に依存しており、その関係を調査することは環の性質の理解を深めます。

可換環における圏論的記述

可換環 R および R-加群 M において、Ann_R(M) は多様な方法で記述でき、特に Hom とテンソルの随伴性を使って表現することができます。この場合、部分集合 S の零化イデアルは、特定の双線形写像に基づいて定義されます。

重要な例

内積のような非退化形式がベクトル空間において現れる場合、伴う零化イデアルは直交補空間として知られています。これは、空間の構造と特性を理解する上で重要な要素となります。

環の他の性質との関係

零化イデアルを利用して、左 Rickart 環や Baer 環を定義することができます。また、S の零因子の集合は、集合 S の各要素の零化イデアルの和となることが示されています。この特性は、環の構造を評価する際に役立ちます。

総じて、零化イデアルは加群論における基本的かつ強力なツールであり、数学のさまざまな分野で広く応用されています。

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