半値幅

半値幅：関数の広がりを表す指標

半値幅（half width）とは、山形形状の関数における広がりを表す指標です。主に、ピークの高さの中間点における関数の幅を示し、関数の広がり具合を定量的に表現するために用いられます。

半値幅には、ピークの最大値の半分となる点間の幅を意味する半値全幅 (FWHM: Full Width at Half Maximum)と、その半分の値である半値半幅 (HWHM: Half Width at Half Maximum)の2種類があります。一般的に「半値幅」と単に言及する場合は、半値全幅を指すことが多いです。

半値幅の定義

ある関数が、ある点の前後で山形の局所的な応答を示す場合を考えます。この関数を f(x) とし、ベースライン関数 b(x) と局所的応答関数 g(x) の和として表現します。

f(x) = b(x) + g(x)

ここで、g(x) は山形の広がりを表す成分であり、十分大きい x と十分小さい x の範囲では g(x) = 0 となります。実用上は、f(x) が上記の条件を満たしていなくても、f(x) = g(x) とみなして扱う場合もあります。

g(x) の最大値を gmax = g(xmax) とすると、g(x) = gmax/2 を満たす x の値が複数存在します（g(x) が単峰性であれば、xmax の左右にそれぞれ1つずつ存在します）。これらの x の値のうち、最小のものを x1、最大のものを x2 と定義します。このとき、x2 - x1 が半値全幅 (FWHM)、(x2 - x1)/2 が半値半幅 (HWHM) となります。

半値幅の例

様々な関数における半値幅の具体的な値は以下の通りです。

正規分布: 標準偏差をσとすると、FWHM = 2σ√(2ln2) となります。
双曲線正割関数 (sech x): FWHM = 2√(2)ln(1+√2) となります。
* 矩形関数: 幅をaとすると、FWHM = a、HWHM = a/2 となります。矩形関数の場合は、ピークの半分という定義ではなく常に一定の幅となるため、単に「全幅」「半幅」と呼ばれることもあります。

品質係数Qとの関係

共振現象においては、半値幅と品質係数Qの間には密接な関係があります。共振ピークでの共振周波数をω₀とすると、以下の関係式が成り立ちます。

Q = ω₀ / Δω

ここで、Δωは半値幅に相当する周波数幅です。この式は、共振ピークが鋭いほど（半値幅が狭いほど）、Q値が大きくなることを示しています。

まとめ

半値幅は、様々な分野で関数の広がりを表す重要な指標として用いられています。正規分布や共振現象など、様々な現象を解析する上で、半値幅の理解は不可欠です。それぞれの関数における半値幅の具体的な計算方法や、品質係数との関係を理解することで、より深い解析が可能になります。

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