半正多面体

半正多面体とは？

半正多面体（はんせいためんたい）とは、全ての面が正多角形で構成され、各頂点に集まる正多角形の種類と配置が全て同じである凸多面体のことです。ただし、正多面体（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）は除外されます。そのため、半正多面体は2種類以上の正多角形から構成されます。アルキメデスの立体とも呼ばれ、全部で13種類存在します。

準正多面体との違いに注意が必要です。準正多面体は、半正多面体のうち、辺の周りの形状が全て同じであるものを指し、立方八面体と二十・十二面体の2種類のみ存在します。半正多面体という用語の方が一般的です。

半正多面体でない多面体

「面が正多角形で頂点形状が合同」という条件を満たすものの、対称性の低さから半正多面体には分類されない立体も存在します。これらには、ミラーの立体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱などがあります。

ミラーの立体は、斜方立方八面体の頂部をねじったような形状をしており、頂点形状は合同ですが、全体としての対称性が低いため、半正多面体とはみなされません。アルキメデスの角柱・反角柱は、種類が無数に存在すること、対称性が二次元的なことから、通常は半正多面体には含めません。ただし、「アルキメデスの立体」という場合はこれらを含むこともあります。

正多面体からの生成

半正多面体は、正多面体を削ることで作られたと考えることができます。この視点から、以下の5つのカテゴリーに分類できます。

1. 切頂 n 面体: 正 n 面体の各頂点を切り落としてできる多面体です。切隅 n 面体、切頭 n 面体とも呼ばれます。
2. n・m 面体（準正多面体）: 正 n 面体または正 m 面体の各頂点を辺の中点まで切り落としてできる多面体です。立方八面体と二十・十二面体がこのカテゴリーに属します。
3. 斜方 n・m 面体: 正 n 面体または正 m 面体の辺と頂点を切り落としたもので、切頂面が正三角形であるものを指します。小斜方 n・m 面体、（小）菱形 n・m 面体とも呼ばれます。
4. 斜方切頂 n・m 面体: 正 n 面体または正 m 面体の辺と頂点を切り落としたもので、切頂面が正六角形であるものを指します。大斜方 n・m 面体、大菱形 n・m 面体とも呼ばれます。
5. 変形 n 面体: 正 n 面体の各面に縮小した正多角形をねじって貼り付けたような形状で、鏡像が存在します。捩れ n 面体とも呼ばれます。

注意すべき点として、「n・m 面体の頂点を切ったもの」を切頂 n・m 面体と説明・理解するケースがありますが、これは誤りです。準正多面体を切頂した場合、正方形ではなく長方形が生成されるためです。

双対多面体：カタランの立体

半正多面体の双対多面体は、カタランの立体と呼ばれます。カタランの立体は、全ての二面角が等しいものの、面が全て同じ正多角形ではない多面体です。重要な点は、半正多面体の面心を頂点とした立体が必ずしもカタランの立体になるとは限らないということです。逆に、カタランの立体の面心を頂点とした立体は半正多面体になります。

まとめ

半正多面体は、幾何学的に興味深い性質を持つ立体群です。正多面体とは異なる魅力を持ち、数学や芸術の分野で広く研究・活用されています。その対称性や生成方法を理解することで、より深くその美しさを堪能できるでしょう。

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