南極定理

南極定理（なんきょくていり）

南極定理は、三角形の幾何学における興味深い性質を示す定理です。ドイツ語では「Südpolsatz」と呼ばれます。

定理の概要

この定理の基本的な主張は、三辺の長さがすべて異なる三角形において、ある一つの辺の垂直二等分線と、その辺に面する（対向する）角の内角の二等分線が、その三角形の外接円上のただ一点で交わるというものです。この特別な交点は「南極」と呼ばれています。

さらに、同じ辺の垂直二等分線は、その辺に対向する角の外角の二等分線とも外接円上の別の点で交わります。この交点は「北極」と称されます。内角と外角に関するこれら二つの主張を合わせて、「拡張南極定理」と呼びます。

命題の厳密な定義

定理の導入部では、辺の長さが等しい二等辺三角形や正三角形の場合が除外されることがあります。これは、これらの特殊な三角形では垂直二等分線と角の二等分線が一致してしまい、明確な「交点」として存在しないためです。

しかし、より普遍的な形で定式化することも可能です。それは、「任意の三角形において、任意の頂点の内角または外角の二等分線はそれぞれ、その角の対辺の垂直二等分線と外接円が交わる二点のうちのどちらか一方を必ず通る」というものです。この表現であれば、二等辺三角形や正三角形の場合も含めて定理が成り立ちます。

証明の考え方

定理の証明では、主に垂直二等分線と外接円の交点の性質を利用します。

一つの証明方法は、ある辺の垂直二等分線と外接円が交わる点（これを仮にSとします）に着目します。この点Sが、対応する対角の内角の二等分線上にあることを示せばよいのです。

垂直二等分線上の点Sと外接円の中心、そして辺の両端の点との位置関係を考えると、円周角と中心角の関係、および垂直二等分線の対称性から、点Sが対角の内角を二等分する線上にあることが導き出されます。具体的には、点Sから対角を構成する二辺までの距離が等しいことや、点Sによって外接円上に作られる二つの弧に対する円周角が等しいことなどが示されます。これにより、垂直二等分線と内角の二等分線が外接円上の点Sで一致して交わることが証明されます。

別の証明としては、垂直二等分線上の点はその辺の両端から等距離にあるという性質と、円周角の定理を結びつける方法もあります。外接円上の点Sが垂直二等分線上にあることから、点Sから対応する辺の両端までの弦の長さが等しくなります。円周角の定理により、同じ長さの弦に対する円周角は等しいため、点Sは対角の内角を二等分する線上にあることになり、定理が証明されます。

関連する定理

南極定理に関連する定理として「トリリウムの定理」が知られています。トリリウムの定理において現れる傍接円の中心は、南極定理における「南極」と一致します。

南極定理は、三角形の内心、外心、垂心、重心といった五心以外の、外接円上に存在する興味深い幾何学的な中心点を示唆する定理と言えます。

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