クロネッカーのデルタ

クロネッカーのデルタ：定義と基本性質

クロネッカーのデルタ (Kronecker delta) とは、集合 T の要素 i, j に対して、i と j が等しいときに 1、そうでないときに 0 を返す二変数関数です。数式で表すと以下のようになります。

δ_ij = { 1 (i = j), 0 (i ≠ j) }

ここで、T は多くの場合自然数の部分[[集合]]です。クロネッカーのデルタは、ドイツの数学者レオポルト・クロネッカーの名前にちなんで名付けられました。

この単純な関数は、線形代数やテンソル解析など、様々な分野で重要な役割を果たします。例えば、単位[[行列]]はクロネッカーのデルタを用いて表現できます。n × n 単位[[行列]] I の ( i, j ) 成分は δ_ij となります。また、n 次元直交座標系の基底ベクトル e_i と e_j の内積は、( e_i, e_j ) = δ_ij と表せます。

クロネッカーのデルタの重要な性質として、以下の式が挙げられます。

∑_j δ_ij a_j = a_i
∑_i a_i δ_ij = a_j

これらの式は、ベクトルに単位[[行列]]を作用させてもベクトルが不変であることを示しています。さらに、

∑_k δ_ik δ_kj = δ_ij

という関係式も成り立ちます。これは、単位[[行列]]同士の積が単位[[行列]]になることに対応しています。

一般化されたクロネッカーのデルタ

クロネッカーのデルタは、より高次のテンソルへと一般化することができます。添字が 1 から n の間の値をとる場合を考えます。

2階の(1,1)型テンソルとしてのクロネッカーのデルタは、

δ^μ_ν = { 1 (μ = ν), 0 (μ ≠ ν) }

と定義されます。

これをさらに一般化して、n 次元、2p 階の一般化されたクロネッカーのデルタを定義することができます。これは (p, p) 型テンソルで、上下それぞれの添字に対して反対称です。

定義:

一般化されたクロネッカーのデルタは、以下のようになります。

δ^μ₁…μp_ν₁…νp = { +1 (偶置換), -1 (奇置換), 0 (その他) }

ここで、「偶置換」とは、ν₁, …, νp が全て異なり、かつ μ₁, …, μp が ν₁, …, νp の偶置換である場合を指し、「奇置換」とは、ν₁, …, νp が全て異なり、かつ μ₁, …, μp が ν₁, …, νp の奇置換である場合を指します。「その他」は上記以外の全ての場合です。

一般化されたクロネッカーのデルタは、p 次の対称群 S_p を用いて、以下のように表現できます。

δ^μ₁…μp_ν₁…νp = ∑_σ∈Sp sgn(σ) δ^μσ(1)_ν₁ … δ^μσ(p)_νp

ここで、sgn(σ) は置換 σ の符号です。また、行列式を用いて表現することも可能です。

演算規則

一般化されたクロネッカーのデルタを用いると、反対称化テンソルの計算が簡潔に表現できます。例えば、以下の演算規則が成り立ちます。

(1/p!) ∑_{ν₁, …, νp} δ^μ₁…μp_ν₁…νp a^ν₁…νp = a^{[μ₁…μp]}

ここで、a^{[μ₁…μp]} は a^ν₁…νp の反対称化テンソルです。これらの規則は、クロネッカーのデルタの基本性質の一般化であり、コーシー・ビネの公式などにも関連します。

さらに、添字の縮約についても、いくつかの重要な関係式が成り立ちます。これらは、一般化されたクロネッカーのデルタを用いた計算において、非常に有用なツールとなります。

まとめ

クロネッカーのデルタは、一見単純な関数ですが、線形代数、テンソル解析、そして物理学など様々な分野において、強力なツールとして活用されています。その一般化された形は、より複雑な数学的対象の記述を簡潔にする役割を果たし、数々の重要な公式や定理の証明に貢献しています。

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