単因子

行列の単因子

代数学において、行列の単因子とは、その行列を特徴づける重要な不変量です。本稿では、単因子の定義、性質、計算方法、そして関連する概念について詳しく解説します。

単因子の定義

D を単項イデアル整域（例えば、整数環 Z や複素係数の一変数多項式環 C[x] など）とします。D 成分の n×m 行列全体の集合を Mn×m(D) と表し、特に m = n のとき Mn(D) と表記します。

任意の行列 A ∈ Mn×m(D) は、ある可逆行列 P ∈ Mn(D) と Q ∈ Mm(D) を用いて、以下のスミス標準形 (Smith normal form) に変換できます。


PAQ = diag(e₁, ..., eᵣ, 0, ..., 0)


ここで、e₁, ..., eᵣ は D の元であり、e₁D ⊇ e₂D ⊇ ... ⊇ eᵣD という包含関係を満たします。また、eᵢ は 0 ではありません。これらの e₁, ..., eᵣ を行列 A の単因子と呼びます。単因子は、単数倍を除いて一意に定まります。この標準形への変換は、行列の基本変形を繰り返し適用することで実現できます。

単因子の性質

F を体とします。

相似行列: 2 つの行列 A, B ∈ Mn(F) が相似であるための必要十分条件は、xI − A と xI − B の単因子が一致することです。ここで、I は単位行列、x は変数です。
最小多項式: 行列 A ∈ Mn(F) の最小多項式は、xI − A の最大次数の単因子（を適切に規格化したもの）と一致します。

単因子の計算例

D を複素係数の一変数多項式環 C[x] とします。以下の行列 A ∈ M₂(C[x]) の単因子を計算してみましょう。


A = x - λ, -1], [0, x - λ


適切な可逆行列 P, Q を選ぶことで、A を以下のスミス標準形に変換できます。


PAQ = 1, 0], [0, (x - λ)²


したがって、この行列 A の単因子は 1 と (x - λ)² となります。

関連概念

単因子は、線形代数や環論において、様々な重要な概念と密接に関連しています。例えば、有限生成アーベル群の基本定理、ジョルダン標準形、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理などとの関連性が知られています。

参考文献

Hazewinkel, M.; Gubareni, N.; Kirichenko, V. V. (2004). Algebras, Rings and Modules. 1. Kluwer Academic Publishers.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (Second ed.). Dover.
斎藤正彦『線型代数入門』（初版）東京大学出版会
木村達雄、竹内光弘、宮本雅彦、森田純：「代数の魅力」、数学書房

まとめ

行列の単因子は、行列の構造を理解する上で非常に重要な不変量です。その定義、性質、そして関連する概念を理解することで、線形代数や環論のより深い理解へと繋がります。本稿で解説した内容を参考に、行列の単因子についてさらに学習を進めていただければ幸いです。

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