原点 (数学)

数学、特に初等数学や幾何学において、原点（げんてん、英: origin）は、空間内の図形や点の位置、あるいは方向を特定し、議論を進める上で基準となる特別な点として定義されます。これは通常、大文字のアルファベット「O」を用いて表されます。

最も典型的かつ広く用いられるのは、デカルト座標系における原点です。直交座標系としても知られるこの座標系では、互いに垂直に交わる複数の直線（座標軸）によって空間が定義されます。原点は、これらの座標軸がただ一点で交わる場所です。例えば二次元平面ではx軸とy軸、三次元空間ではx軸、y軸、z軸が交わる点です。

原点は各座標軸を二つの半直線に分割します。一方は正の方向を示す「正の半軸」、他方は負の方向を示す「負の半軸」と呼ばれます。これらの半軸は、原点から見てそれぞれの軸上の点の符号（正か負か）を決定する基準となります。

デカルト座標系における空間内の任意の位置は、原点を基準として参照されます。具体的には、その点から各座標軸へ下ろした垂線によって定まる、軸上の点と原点との間の距離を符号付きの値（座標値）として表します。この座標値の組が、その点の位置を示す座標となります。例えば、二次元平面では(x, y)という形式、三次元空間では(x, y, z)という形式で表されます。

原点それ自身の座標値は、定義により常に零です。二次元平面における原点の座標は(0, 0)、三次元空間における原点の座標は(0, 0, 0)となります。原点は、全ての座標軸上のゼロを示す点であり、座標系全体を位置づける不動の基準点として機能します。

デカルト座標系以外にも、様々な座標系が存在し、それぞれに原点に相当する概念があります。例えば、極座標系における原点は「極（pole）」とも呼ばれます。極座標系では、点の位置は原点からの距離（動径）と、基準線（通常は正のx軸）から原点とその点を結ぶ線分までの角度（偏角）によって表されます。しかし、原点そのものにおいては、原点とその点を結ぶ線分が一意に定まらないため、角度（偏角）が定義できません。このため、原点の極座標は他の点のように一意には定まらないという特殊性があります。

また、複素数を扱うガウス平面（複素平面）では、原点は実軸と虚軸が交わる点に位置し、これは複素数「0」に対応します。ガウス平面における原点は、実数0と虚数0iに対応する特別な点として機能します。

純粋なユークリッド幾何学の枠組みでは、座標系を導入する際に、議論を簡潔に進めるための便宜的な基準点として、任意の位置を原点として選ぶことが可能です。これは、空間自体が等質的であるというユークリッド幾何学の性質に基づいています。

数学の他の分野においても、原点に相当する概念が現れます。例えば、ベクトル空間における零ベクトルは、原点に位置するベクトルと見なすことができます。アフィン空間は、原点と基底の組によって定義されるアフィン座標系を持ちます。また、原点からの距離のみに依存する性質を持つ関数は「球対称関数」と呼ばれ、物理学などで重要になります。

このように、原点は座標系の中心として、また幾何学的な議論における絶対的な基準点として、数学の様々な分野で基本的な役割を担っています。

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