アフィン空間

アフィン空間：原点を忘れたベクトル空間

アフィン空間とは、幾何ベクトルの存在する空間であり、ユークリッド空間から原点や座標、長さ、角度といった計量の概念を取り除いた抽象的な幾何学的構造です。ベクトル空間から「どの点が原点か」という情報を失ったものと考えることができます。1次元のアフィン空間はアフィン直線、2次元のアフィン空間はアフィン平面と呼ばれます。

アフィン空間の特徴

アフィン空間では、点の差としてベクトルを得たり、点にベクトルを加えて別の点を得たりできますが、点同士を直接加えることはできません。また、どの点が原点であるかは定義されていません。

ある人が本当の原点をO、別の人が点をPとして原点だと考えている状況を想像してみましょう。ベクトルa = OA→、b = OB→があるとします。

この時、二つのベクトルを加える操作は、原点の認識によって結果が変わります。Pを原点と考えている人は、PA→ + PB→を計算しますが、Oを原点と考えている人は、OA→ + OB→を計算します。

しかし、ベクトルの線形結合において、係数の和が1である場合、どちらの計算結果も同じになります。これは、アフィン空間では「アフィン結合」(係数の和が1である線形結合)のみが意味を持つことを示しています。

形式的な定義

集合Aと体K上のn次元ベクトル空間Vの組(A, V)がK上のn次元アフィン空間であるとは、以下の3条件を満たすときです。

1. 任意のP∈A, a∈Vに対し、Q = P + aを満たすQ∈Aがただ一つ存在する。この写像T_a: A → Aをaによる平行移動という。
2. 任意のa, b∈Vに対し、(P + a) + b = P + (a + b)が成り立つ。
3. Aの任意の二点P, Qに対し、Q = P + aを満たすa∈Vがただ一つ定まる。これをa = Q - Pと表記する。

ここで、Aをアフィン空間の台集合、Vを付随するベクトル空間と呼びます。Vの元を幾何ベクトルと呼びます。

座標系

アフィン空間Aの一点OとVの基底B = (a1, a2, ..., an)を固定すると、(O; B)を座標系と呼びます。任意の点Pの位置ベクトルp = OP→は、基底Bに関する成分表示(p1, p2, ..., pn)で表され、これがPの座標となります。

座標系を固定すると、点と位置ベクトルの対応、位置ベクトルと座標の対応によって、アフィン空間Aはベクトル空間VとK^nと一対一に対応します。そのため、K^nをn次元アフィン空間と呼ぶこともあります。

アフィン結合tP + (1-t)Qは、点Oの取り方によらず、tOP→ + (1-t)OQ→で定義されます。これはアフィン空間における重要な操作です。

部分空間

アフィン空間Aの部分集合Sが、アフィン結合に関して閉じているとき、SをAの部分アフィン空間と呼びます。1次元の部分アフィン空間を直線、2次元の部分アフィン空間を平面と呼びます。(n-1)次元の部分空間を超平面と呼びます。

ベクトルの集合Xのアフィン包(affine hull)は、Xのアフィン結合全体からなる集合で、アフィン部分空間となります。

平行条件と捩れの位置

二つの部分空間S1, S2に対し、V(S1) ⊂ V(S2)ならばS1はS2に平行といい、S1 ∥ S2と表します。S1とS2が捩れの位置にあるとは、dimK(V(S1 ∨ S2)) = dimK(V(S1)) + dimK(V(S2)) + 1が成り立つことを言います。

アフィン変換

アフィン空間の対称性を保つ写像をアフィン変換と呼びます。アフィン変換は、平行移動と原点を中心とした線形変換の合成で表すことができます。アフィン変換は凸包の構造を保ちます。アフィン合同とは、可逆なアフィン変換で互いに移り合うことを言います。

その他の公理化

アフィン空間は解析幾何学で扱うのが一般的ですが、公理によって定義することもできます。代表的なものとして、コクセターによる公理化やキャメロンによる公理化があります。

特殊なアフィン空間

ユークリッド空間は、アフィン空間に長さや角度といった計量を加えたものです。ベクトル空間はそれ自身アフィン空間であり、その部分空間による商空間もアフィン空間となります。射影空間もアフィン空間の構造を持ちます。

射影空間との関係

任意のアフィン空間はある射影空間の部分アフィン空間であり、射影空間から直線とその上の点を除くことで得られます。アフィン変換は射影変換に拡張できますが、アフィン空間の射影化は自然には定義できません。

参考文献

Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer
Cameron, Peter J. (1991), Projective and polar spaces
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry
Dolgachev, I.V.; Shirokov, A.P. (2001), “Affine space”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics
Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry
佐武一郎『線型代数学』裳華房、1958年。

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