双対 (圏論)

双対性 (Duality)

圏論において、双対性（そうついせい、duality）は非常に基本的かつ強力な概念です。これは、ある圏が持つ性質と、その圏の「反対圏」が持つ性質との間に存在する対応関係を指します。双対性の考え方を理解することで、一つの証明や定義から、その双対概念に関する同様の結果を自動的に導き出すことが可能になり、理論構築の効率が飛躍的に向上します。

定義

圏 C が与えられたとき、その反対圏 (opposite category または dual category) C^op は、C と同じ対象を持ちますが、射の向きがすべて逆になった圏です。

例えば、C において対象 A から対象 B への射 f: A → B が存在する場合、C^op においては B から A への射 f^op: B → A が存在します。また、C において射 f: A → B と射 g: B → C の合成 g ∘ f: A → C が定義される場合、C^op においては f^op: B → A と g^op: C → B の合成が (g ∘ f)^op として定義され、その向きは C → A となります。ここで重要なのは、C^op における合成の順序が C とは逆になるという点です。すなわち、C^op では g^op と f^op の合成は f^op ∘ g^op と書かれ、これが (g ∘ f)^op に対応します。

圏論に関するステートメント（主張や命題）に対しても、同様の操作によって「双対ステートメント」を形成できます。具体的には、ステートメント内で言及されるすべての射の始域と終域を入れ替え、射の合成の順序を逆にする（例えば、g ∘ f を f ∘ g に置き換える）ことで、元のステートメントの双対が得られます。より形式的には、圏論の基本的な言語で記述されたステートメント σ に対して、すべての「始域」と「終域」を交換し、全ての合成 g ∘ f を f ∘ g に置き換えることで得られるステートメントを σ^op とします。

双対性原理とは、元の圏 C においてステートメント σ が真であることと、その双対ステートメント σ^op が反対圏 C^op において真であることとが同値である、という重要な観察です。これは、C で σ が偽であれば、C^op で σ^op も偽であることも意味します。

C が具体的な数学的対象（例えば集合と関数、位相空間と連続写像など）から構成される圏である場合でも、その反対圏 C^op は必ずしも直感的な、あるいは既存の数学分野に現れる圏とは限りません。しかし、もし C^op が、別の具体的な圏 D と圏同値（category equivalent）であるならば、その圏 D もまた C と「双対にある」と言われます。

特に、圏 C 自身がその反対圏 C^op と圏同値である場合、その圏 C は自己双対 (self-dual) であると呼ばれます。

例

双対性の考え方は、圏論における様々な概念や定理を結びつけます。

1. モノ射とエピ射: 射 f: A → B がモノ射 (monomorphism) であることの定義は、「任意の射 g, h: X → A に対して、f ∘ g = f ∘ h ならば g = h である」というものです。このステートメントを双対化してみましょう。射の向きを逆にして、合成の順序を逆にします。すると、「任意の射 g, h: B → X に対して、g ∘ f = h ∘ f ならば g = h である」というステートメントが得られます。これは、射 f: A → B がエピ射 (epimorphism) であることの定義に他なりません。したがって、モノ射であるという性質とエピ射であるという性質は双対の関係にあります。双対性原理によれば、ある圏 C における射がモノ射であることと、その反対圏 C^op においてその逆向きの射がエピ射であることは同値になります。

2. 順序: 集合上の半順序関係 ≤ を考えます。これは、要素間に高々一つの射を持つある種の圏と対応づけることができます。ここで、新しい関係 ≤_new を `x ≤<sub>new</sub> y ⇔ y ≤ x` と定義すると、これは元の順序関係の双対操作に対応します。より抽象的な数学の分野では、束論における結び（join, ∨）と交わり（meet, ∧）の役割が交換されるド・モルガンの法則なども、この双対性の抽象的な現れとして捉えられます。

3. 極限と余極限: 圏論において、極限 (limit) と余極限 (colimit) は互いに双対的な概念です。例えば、積 (product) は終極限 (terminal limit) であり、余積 (coproduct) は始余極限 (initial colimit) として定義され、これらは双対です。また、引き戻し (pullback) と押し出し (pushout) も双対概念です。

4. 代数トポロジー: 代数トポロジーやホモトピー論の分野では、ファイブレーション (fibration) とコファイブレーション (cofibration) が双対概念の典型例として挙げられます。この文脈での双対性は、しばしばエックマン-ヒルトン双対性 (Eckmann–Hilton duality) と呼ばれます。

双対性は、圏論における多くの定理が「タダで手に入る」ことを意味します。ある概念について証明された性質は、その双対概念についても、双対原理を用いて自動的に成り立つからです。この普遍的な対応関係は、圏論が多くの数学分野の構造を統一的に理解するための強力な枠組みとなっている一因です。

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