エピ射
圏論の分野において、エピ射（epimorphism、あるいはepic morphism）は、基本的な概念の一つであり、「右簡約可能な射」として特徴づけられます。これは、ある射 f の右側に別の射を合成した結果が等しければ、その別の射自身も等しい、という性質を持つ射を指します。圏論では、対象 X から Y へのエピ射は通常 X ↠ Y と表記されます。
エピ射の概念は、集合論における全射（surjective map）の考え方を一般的な圏へと拡張したものです。多くの身近な圏、例えば集合の圏、群の圏、あるいは環上の加群の圏などでは、圏論的な意味でのエピ射は集合論的な意味での全射と正確に一致します。しかし、全ての圏でこの対応が成り立つわけではありません。その有名な反例として、可換環の圏における整数環 Z から有理数体 Q への標準的な包含写像 Z → Q が挙げられます。この写像は集合としては全射ではありませんが、環の準同型写像としてはエピ射となります。これは、エピ射が単なる集合論的全射の言い換えではなく、圏の構造に依存する独自の性質であることを示しています。
厳密な定義
圏Cにおける射 f: X → Y がエピ射であるとは、任意の対象 Z と、Y を始域とする任意の2つの射 g₁: Y → Z および g₂: Y → Z に対して、合成射が等しいならば（すなわち g₁ ∘ f = g₂ ∘ f ならば）、元の射自身も等しい（すなわち g₁ = g₂ である）という条件が満たされることを言います。この条件を満たす性質を「右簡約可能性」と呼びます。
定義: f: X → Y がエピ射 ⇔ ∀ Z, ∀ g₁, g₂: Y → Z, (g₁ ∘ f = g₂ ∘ f) ⇒ (g₁ = g₂)
エピ射と圏論的半順序
エピ射の概念を利用して、圏における対象間の関係に構造を与えることも可能です。特に、同じ始域を持つエピ射の集合上に半順序を定義することができます。β₁: B → B₁ と β₂: B → B₂ を、共通の始域 B を持つエピ射とします。このとき、「β₂ は β₁ より小さいか等しい」（β₂ ≼ β₁ と表記）という関係は、ある射 γ: B₂ → B₁ が存在して、β₁ = γ ∘ β₂ が成り立つこととして定義されます。この関係 ≼ は以下の性質を満たし、確かに半順序を構成します。
反射律: 任意のエピ射 β: B → B' に対して、β ≼ β が成り立ちます（射 γ として B' 上の恒等射をとればよいからです）。
推移律: エピ射 β₁: B → B₁, β₂: B → B₂, β₃: B → B₃ について、もし β₂ ≼ β₁ かつ β₃ ≼ β₂ ならば、β₃ ≼ β₁ が成り立ちます（定義から β₁ = γ₁ ∘ β₂ と β₂ = γ₂ ∘ β₃ となる射 γ₁: B₂ → B₁ と γ₂: B₃ → B₂ が存在すれば、β₁ = γ₁ ∘ (γ₂ ∘ β₃) = (γ₁ ∘ γ₂) ∘ β₃ となり、γ₁ ∘ γ₂ が求める射となります）。
反対称律: エピ射 β₁: B → B₁, β₂: B → B₂* について、もし β₂ ≼ β₁ かつ β₁ ≼ β₂ ならば、β₁ と β₂ は同型（isomorphic）となります（定義から β₁ = γ₁ ∘ β₂ と β₂ = γ₂ ∘ β₁ となる射 γ₁: B₂ → B₁ と γ₂: B₁ → B₂ が存在すれば、β₁ = γ₁ ∘ (γ₂ ∘ β₁) = (γ₁ ∘ γ₂) ∘ β₁。β₁はエピ射なので γ₁ ∘ γ₂ は B₁ 上の恒等射 id_{B₁} となります。同様に γ₂ ∘ γ₁ は B₂ 上の恒等射 id_{B₂} となります。これは γ₁ と γ₂ が互いに逆射であることを意味し、したがって β₁ と β₂ が同型射であることを示します）。
用語の由来と一般的な誤解
エピ射という言葉は、モノ射（monomorphism）と並んで、数学者グループのニコラ・ブルバキによって導入されました。当初、ブルバキはエピ射を全射関数（surjective function）の略称として使用していました。初期の圏論研究者の間でも、モノ射が単射の適切な抽象化であるのと同様に、エピ射もまた全射の正確なアナロジーであるという見方が一般的でした。しかし、前述の例のように、これは全ての圏で常に成り立つわけではないことが後に明らかになりました。特定の文脈においては、強エピ射（strong epimorphism）や正規エピ射（regular epimorphism）といった、通常のエピ射よりも集合論的な全射により近い性質を持つ射が存在します。
著名な圏論学者であるソーンダース・マックレーンは、この混乱を避けるため、全射を基礎に持つ具体圏における射を「エピ射」、そして任意の圏における右簡約可能な射を「エピック射」と呼び分けて区別しようと試みましたが、この用語法は広く普及しませんでした。現在でも「エピ射は単に全射のことだ」という誤解がしばしば見られますが、実際には多くの身近な圏で一致するものの、特に環の圏のようにエピ射の性質が複雑で予測困難な場合もあります。
結論として、エピ射は全射と関連性はあるものの、それ自身が圏論の枠組みの中で定義される独自の重要な概念であり、単なる全射の言い換えではないと理解することが、正しく理解することが肝する必要があります。
エピ射の概念は、集合論における全射（surjective map）の考え方を一般的な圏へと拡張したものです。多くの身近な圏、例えば集合の圏、群の圏、あるいは環上の加群の圏などでは、圏論的な意味でのエピ射は集合論的な意味での全射と正確に一致します。しかし、全ての圏でこの対応が成り立つわけではありません。その有名な反例として、可換環の圏における整数環 Z から有理数体 Q への標準的な包含写像 Z → Q が挙げられます。この写像は集合としては全射ではありませんが、環の準同型写像としてはエピ射となります。これは、エピ射が単なる集合論的全射の言い換えではなく、圏の構造に依存する独自の性質であることを示しています。
厳密な定義
圏Cにおける射 f: X → Y がエピ射であるとは、任意の対象 Z と、Y を始域とする任意の2つの射 g₁: Y → Z および g₂: Y → Z に対して、合成射が等しいならば（すなわち g₁ ∘ f = g₂ ∘ f ならば）、元の射自身も等しい（すなわち g₁ = g₂ である）という条件が満たされることを言います。この条件を満たす性質を「右簡約可能性」と呼びます。
定義: f: X → Y がエピ射 ⇔ ∀ Z, ∀ g₁, g₂: Y → Z, (g₁ ∘ f = g₂ ∘ f) ⇒ (g₁ = g₂)
エピ射と圏論的半順序
エピ射の概念を利用して、圏における対象間の関係に構造を与えることも可能です。特に、同じ始域を持つエピ射の集合上に半順序を定義することができます。β₁: B → B₁ と β₂: B → B₂ を、共通の始域 B を持つエピ射とします。このとき、「β₂ は β₁ より小さいか等しい」（β₂ ≼ β₁ と表記）という関係は、ある射 γ: B₂ → B₁ が存在して、β₁ = γ ∘ β₂ が成り立つこととして定義されます。この関係 ≼ は以下の性質を満たし、確かに半順序を構成します。
反射律: 任意のエピ射 β: B → B' に対して、β ≼ β が成り立ちます（射 γ として B' 上の恒等射をとればよいからです）。
推移律: エピ射 β₁: B → B₁, β₂: B → B₂, β₃: B → B₃ について、もし β₂ ≼ β₁ かつ β₃ ≼ β₂ ならば、β₃ ≼ β₁ が成り立ちます（定義から β₁ = γ₁ ∘ β₂ と β₂ = γ₂ ∘ β₃ となる射 γ₁: B₂ → B₁ と γ₂: B₃ → B₂ が存在すれば、β₁ = γ₁ ∘ (γ₂ ∘ β₃) = (γ₁ ∘ γ₂) ∘ β₃ となり、γ₁ ∘ γ₂ が求める射となります）。
反対称律: エピ射 β₁: B → B₁, β₂: B → B₂* について、もし β₂ ≼ β₁ かつ β₁ ≼ β₂ ならば、β₁ と β₂ は同型（isomorphic）となります（定義から β₁ = γ₁ ∘ β₂ と β₂ = γ₂ ∘ β₁ となる射 γ₁: B₂ → B₁ と γ₂: B₁ → B₂ が存在すれば、β₁ = γ₁ ∘ (γ₂ ∘ β₁) = (γ₁ ∘ γ₂) ∘ β₁。β₁はエピ射なので γ₁ ∘ γ₂ は B₁ 上の恒等射 id_{B₁} となります。同様に γ₂ ∘ γ₁ は B₂ 上の恒等射 id_{B₂} となります。これは γ₁ と γ₂ が互いに逆射であることを意味し、したがって β₁ と β₂ が同型射であることを示します）。
用語の由来と一般的な誤解
エピ射という言葉は、モノ射（monomorphism）と並んで、数学者グループのニコラ・ブルバキによって導入されました。当初、ブルバキはエピ射を全射関数（surjective function）の略称として使用していました。初期の圏論研究者の間でも、モノ射が単射の適切な抽象化であるのと同様に、エピ射もまた全射の正確なアナロジーであるという見方が一般的でした。しかし、前述の例のように、これは全ての圏で常に成り立つわけではないことが後に明らかになりました。特定の文脈においては、強エピ射（strong epimorphism）や正規エピ射（regular epimorphism）といった、通常のエピ射よりも集合論的な全射により近い性質を持つ射が存在します。
著名な圏論学者であるソーンダース・マックレーンは、この混乱を避けるため、全射を基礎に持つ具体圏における射を「エピ射」、そして任意の圏における右簡約可能な射を「エピック射」と呼び分けて区別しようと試みましたが、この用語法は広く普及しませんでした。現在でも「エピ射は単に全射のことだ」という誤解がしばしば見られますが、実際には多くの身近な圏で一致するものの、特に環の圏のようにエピ射の性質が複雑で予測困難な場合もあります。
結論として、エピ射は全射と関連性はあるものの、それ自身が圏論の枠組みの中で定義される独自の重要な概念であり、単なる全射の言い換えではないと理解することが、正しく理解することが肝する必要があります。
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