双対基底

線形代数における双対空間と双対基底

線形代数において、ベクトル空間とその双対空間、そして双対基底は重要な概念です。本稿では、これらの概念について詳細に解説します。

双対空間とは？

体F上のベクトル空間Vが与えられたとき、Vの双対空間Vは、VからFへの線形写像全体の集合として定義されます。Vの元は線形汎関数と呼ばれ、ベクトル空間Vの各ベクトルにスカラー値を対応させます。

より具体的に言うと、双対空間Vの要素は、V上の線形汎関数です。線形汎関数は、ベクトル空間Vの任意の二つのベクトルu, vとスカラーcに対して、以下の条件を満たす写像f: V→Fです。

f(u+v) = f(u) + f(v)
f(cv) = cf(v)

簡単に言えば、双対空間は、ベクトル空間上の線形汎関数の集合です。

双対基底とは？

ベクトル空間Vの基底B = {v₁, v₂, ..., vₙ}が与えられたとき、その双対基底B = {v¹, v², ..., vⁿ}とは、Vの基底であって、BとBが二重直交性を満たすものです。二重直交性とは、次の条件を満たすことを意味します。

vⁱ(vⱼ) = δᵢⱼ (i, j = 1, 2, ..., n)

ここで、δᵢⱼはクロネッカーのデルタです。つまり、i=jのときδᵢⱼ=1、i≠jのときδᵢⱼ=0となります。この条件は、基底ベクトルvⱼを線形汎関数vⁱに作用させると、i=jのとき1、i≠jのとき0になることを意味します。

双対基底の構成方法

双対基底は、元の基底から一意的に構成できます。有限次元ベクトル空間の場合、元の基底が与えられれば、その双対基底は常に存在し、一意的に定まります。しかし、無限次元ベクトル空間の場合、必ずしも双対基底が存在するとは限りません。

有限次元ベクトル空間の場合、双対基底の構成方法は次のようになります。まず、元の基底B = {v₁, v₂, ..., vₙ}を考えます。次に、双対基底B = {v¹, v², ..., vⁿ}を、以下の条件を満たすように構成します。

vⁱ(vⱼ) = δᵢⱼ

この条件を満たす線形汎関数vⁱは、一意的に定まります。

例えば、R²の標準基底{(1,0), (0,1)}の双対基底は{(1,0), (0,1)}となります。これは、(1,0)を(1,0)に作用させると1になり、(1,0)を(0,1)に作用させると0になるという条件を満たしています。

有限次元と無限次元空間

有限次元ベクトル空間の場合、双対基底は常に存在し、一意的に定まります。しかし、無限次元ベクトル空間の場合、必ずしも双対基底が存在するとは限りません。これは、無限次元ベクトル空間の双対空間の次元が、もとのベクトル空間の次元よりも大きい場合があるためです。

双対基底の応用

双対基底は、線形代数において様々な応用があります。例えば、ベクトルの成分表示、線形変換の表現、テンソル解析などに使われます。

まとめ

本稿では、線形代数における双対空間と双対基底について解説しました。双対空間は、ベクトル空間上の線形汎関数の集合であり、双対基底は、元の基底と二重直交性を満たすV*の基底です。有限次元ベクトル空間の場合、双対基底は常に存在し、一意的に定まりますが、無限次元ベクトル空間の場合、必ずしも存在するとは限りません。双対基底は、線形代数において重要な役割を果たし、多くの応用があります。

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