反傾表現

反傾表現

反傾表現（はんけいひょうげん、英: contragredient representation）または双対表現（そうついひょうげん、英: dual representation）は、群の線型表現に関連する数学的な概念です。この表現は、群が持つ作用を通じて、ベクトル空間の性質を調査するために用いられます。特に、ある群 $G$ が与えられたとき、線型表現 $
ho$ がベクトル空間 $V$ に作用する様子を考察します。

定義

群 $G$ の線型表現 $
ho$ がベクトル空間 $V$ 上にある場合、反傾表現 $
ho^$ は、双対ベクトル空間 $V^$ 上で次のように定義されます。群の元 $g
eq 1$ に対し、反傾表現は次のように定義されます：

$$
ho^(g) =
ho(g^{-1})^T$$
ここで、$^T$ は行列の転置を表します。この定義から、反傾表現は元の線型表現の特性を保持しながら、双対ベクトル空間において新たな構造を持つことが明らかになります。

次に、$g$ がリー環の元である場合には、表現 $
ho$ がベクトル空間 $V$ に行う作用は、$
ho^(X) = -
ho(X)^T$ と仕様が異なります。この定義におけるマイナス符号は、反傾表現独特の性質を示しています。

動機付け

表現論の分野では、ベクトル $V$ と線型汎関数 $V^$ は共に列ベクトルとして扱われます。このため、表現は行列の左からの作用によって表されます。具体的には、線型汎関数 $ heta$ の $v
ightarrow V$ への作用は、行列の乗法によって次のように表現できます。

$$ heta(v) = heta^T v $$

ここで、$ heta^T$ は汎関数を表す行列の転置です。

群 $G$ の作用に整合性をもたせるためには、以下の条件が満たされなければなりません：

$$ heta^(g) heta(v) = heta(v). $$
この条件は、反傾表現の特性から自ずと導かれます。

つまり、標準的な一次変換としての特徴が保持されることにより、線型汎関数とその作用する対象との関連性が示されます。

一般化

群 $G$ に対して異なる2つの表現 $(
ho_1, V_1)$ および $(
ho_2, V_2)$ が存在するとき、これらを用いて新たな表現を定義できます。具体的には、次のように表現の間のホモモルフィズムを考察します：

$$
ho(g)(f) =
ho_2(g) ullet f ullet
ho_1(g^{-1}). $$

この表現は、特に反傾表現において重要で、表現の自明化に寄与します。また、環上の加群は一般的には反傾表現を持たないものの、一部の特定の条件下ではその存在が認められています。特に、ホップ代数上の加群は反傾表現を持つことが知られています。

まとめ

反傾表現は、表現論において重要な位置を占めており、群の構造を理解するために役立ちます。これにより、群の性質や関連する概念をより深く研究することが可能になるのです。

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