反射関係

反射関係と無反射関係

数学において、二項関係は集合の要素間の繋がりを表す重要な概念です。二項関係の中でも、特に重要なのが「反射関係」と「無反射関係」です。

反射関係

集合X上の二項関係Rが反射的であるとは、Xの任意の元aに対して、aとa自身が関係Rを持つことを意味します。つまり、aRaが常に成り立ちます。

数学的な表現では、以下のようになります。

∀a∈X, aRa

例えば、「AはBと等しい」という関係は反射的です。なぜなら、任意の数Aについて、AはA自身と等しいからです。同様に、「AはBの部分集合である」や「AはBで割り切れる」なども反射的な関係の例として挙げられます。

無反射関係

一方、無反射関係は、反射関係の反対です。集合X上の二項関係Rが無反射的であるとは、Xの任意の元aについて、aとa自身は関係Rを持たないことを意味します。つまり、aRaは決して成り立ちません。

数学的な表現は以下のようになります。

∀a∈X, ¬(aRa)

例えば、「AはBと等しくない」という関係は無反射的です。AがA自身と等しくないということはありえないからです。他に「AはBより大きい」、「AとBは互いに素である」なども無反射的な関係の例です。

反射閉包と無反射核

任意の二項関係Rに対して、それを含む最小の反射関係を「反射閉包」と呼びます。これは、RにXのすべての元(a,a)を追加することで得られます。

一方、「無反射核」は、関係Rからすべての(a,a)を取り除いたものです。つまり、関係Rにおいて無反射的な最大の部分集合です。

反射的でも無反射的でもない関係

すべての二項関係が反射的または無反射的であるわけではありません。例えば、整数aとbの関係Rを「a = -b」と定義した場合、この関係は0の場合のみ反射的になり、それ以外の場合は反射的でも無反射的でもありません。

反射関係を含む属性

反射関係は、多くの重要な属性と関係しています。例えば、「前順序関係」は推移的で反射的な関係です。半順序や同値関係は前順序関係の特殊な場合であり、これらも反射的です。

推移性との関係

推移的で無反射的な関係は非対称関係であり、強半順序関係となります。一方、推移的で反射的な関係は前順序関係です。有限集合においては、前順序関係の方が強半順序関係よりも数が多いことが知られています。

参考文献

Lidl, R. and Pilz, G. (1998). Applied abstract algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6
Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
* Quine, W. V. (1951). Mathematical Logic, Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5

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