否定論理積

否定論理積（NAND）とは

否定論理積（NAND）は、与えられた複数の命題のうち、少なくとも一つが偽（False）である場合に真（True）となる論理演算です。これは、AND演算の結果を否定（NOT）したものと考えることができます。NANDは、Not ANDの略で、一般的に「ナンド」と発音されます。また、シェファーの棒記号「|」や矢印「↑」で表記されることもあります。これらの記号は、1913年にヘンリー・シェファーによって導入されました。

否定論理積の性質

NAND演算の重要な性質の一つに、完全性があります。完全性とは、ある限られた種類の論理演算の組み合わせによって、任意のブール関数を構成できることを指します。ANDとOR演算だけでは完全性を満たせませんが、NOT演算を加えることで完全になります。さらに、NAND演算はそれ単独で完全性を持ちます。これは、NAND演算を組み合わせることで、他の全ての論理演算（NOT、AND、OR）を表現できることを意味します。以下に、NAND演算を用いたNOT、AND、ORの構成を示します。

• - NOT A = A NAND A
• - A AND B = NOT ( A NAND B ) = ( A NAND B ) NAND ( A NAND B )
• - A OR B = ( NOT A ) NAND ( NOT B ) = ( A NAND A ) NAND ( B NAND B )

真理値表

否定論理積の真理値表は以下の通りです。


この表からわかるように、AとBの両方が真の場合のみ、A NAND Bは偽となります。それ以外の場合は真です。

ベン図

否定論理積をベン図で表現すると、AとBの重なり部分以外の領域が塗られます。

[否定論理積のベン図イメージ]

応用

NANDゲートは、デジタル回路の基本要素として広く利用されています。NANDゲートを組み合わせることで、コンピュータのCPUやメモリなど、あらゆるデジタル回路を構築することができます。NANDゲートは、他の論理ゲートよりも回路をシンプルにできるため、集積回路の設計において非常に重要な役割を果たしています。

関連事項

• - 論理積（AND）: 両方の命題が真である場合に真となる論理演算。
• - 否定論理和（NOR）: 複数の命題のいずれも真でない場合に真となる論理演算。
• - 真理値: 命題が真（True）または偽（False）であるという値。
• - 真理値表: 論理演算の入力と出力の対応関係を表形式で示したもの。
• - ブール代数: 論理演算を扱う数学の分野。
• - ブール論理: ブール代数に基づく論理体系。
• - ブール関数: ブール変数を入力とし、ブール値を出力とする関数。
• - ベン図: 集合の関係を図で表現したもの。

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