四つ子素数

四つ子素数について

定義

四つ子素数（よつごそすう、英: prime quadruplet）は、特定の条件を満たす四つの素数の組です。この組は、形式的には (p, p + 2, p + 6, p + 8) で表されます。この場合、最初の2つ (p, p + 2) と最後の2つ (p + 6, p + 8) は双子素数であり、その間の (p + 2, p + 6) はいとこ素数として知られています。また (p, p + 6) と (p + 2, p + 8) はそれぞれセクシー素数となります。さらに、(p, p + 2, p + 6) および (p + 2, p + 6, p + 8) は三つ子素数でもあります。

小さい順の四つ子素数

最初に見つかった四つ子素数は次の通りです:

• - (5, 7, 11, 13)
• - (11, 13, 17, 19)
• - (101, 103, 107, 109)

これらを小さな数から順に並べると、上記の組み合わせが得られます。最小の四つ子素数以降は、一般的に (30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19) という形式に従うと考えられています。これにより、最小のものを除くと、四つ子素数の1の位は (1, 3, 7, 9) となり、十の位以上の数字は共通します。

数の性質と未解決問題

現在において、四つ子素数が無限に存在するか否かは明らかになっていません。この問題は2016年9月時点でも未解決のままです。また、これらの四つ子素数の逆数の和は収束し、特定の数値（約0.8705883800）が得られることが示唆されています。

既知の四つ子素数について

2019年2月時点で知られている最大の四つ子素数は、667674063382677 × 233608 − 1 という非常に大きな数です。この数は10132桁にも及びます。

初期の38組の四つ子素数

以下に、最初の38組の四つ子素数を示します。これらの組み合わせは、さまざまな数学的研究の基礎として利用されています：

• - {5, 7, 11, 13}
• - {11, 13, 17, 19}
• - {101, 103, 107, 109}
• - {191, 193, 197, 199}
• - {821, 823, 827, 829}
• - など。

五つ子素数と六つ子素数

四つ子素数に関連して、もし p - 4 または p + 12 が素数であれば、それらを含む五つの素数を五つ子素数（いつつごそすう、prime quintuplet）と呼びます。さらに、両方が素数の場合、その組を六つ子素数（むつごそすう、prime sextuplet）と呼びます。これらが無限に存在するかどうかも、未解決の課題です。

五つ子素数と六つ子素数の例

• - 五つ子素数の例:

{5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, など

• - 六つ子素数の例:

{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, など

まとめ

四つ子素数は、興味深い性質を持つ素数の特定の組み合わせです。これらの数の存在、性質、そしてその背後にある数学的理論は、多くの研究者によって探求されています。今後の研究により、四つ子素数やその関連の問題の解決が期待されます。

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