三つ子素数

三つ子素数

三つ子素数とは、特定の条件に基づいて形成される3つの素数の組を指します。これらの素数の組は、以下のいずれかの形式で表されます。

• - (p, p + 2, p + 6)
• - (p, p + 4, p + 6)

このように、三つ子素数は二つの異なるパターンを持つものとしており、特に双子素数やいとこ素数、セクシー素数などの素数の組もこれに含まれます。双子素数は2つの素数からなる組ですが、三つ子素数は3つの素数からなります。

三つ子素数の例

三つ子素数を小さい順に並べると、以下のようになります。

• - (5, 7, 11)
• - (7, 11, 13)
• - (11, 13, 17)
• - (13, 17, 19)
• - (17, 19, 23)
• - (37, 41, 43)
• - (41, 43, 47)
• - (67, 71, 73)
• - (97, 101, 103)

最小の素数を抽出すると、以下のような数列が得られます。

5, 7, 11, 13, 17, 37, 41, 67, 97, 101, 103, 107, 191, 193, 223, 227, 277, 307, 311, 347, 457, 461, 613, 641, 821, 823, 853, 857, 877, 881, 1087 など。

この中で、(p, p + 2, p + 6) の形式の素数は以下です。

5, 11, 17, 41, 101, 107, 191, 227, 311, 347, 461, 641, 821, 857, 881 など。

そして、(p, p + 4, p + 6) の形式のものは次のようになります。

7, 13, 37, 67, 97, 103, 193, 223, 277, 307, 457, 613, 823, 853, 877, 1087 など。

三つ子素数の予想

三つ子素数は無限に存在するのではないかと考えられています。数学者ハーディとリトルウッドは、より詳細な予想を立てています。彼らの予想によると、特定の条件を満たす三つ子素数の数は次のように表現できるとされています。

この予想に基づくと、x未満の三つ子素数の数は、(p, p + 2, p + 6) 形式、(p, p + 4, p + 6) 形式のそれぞれにおいて次のように推定されます。

$$
rac{9}{2} imes ext{それ以降の数式} \
$$

この予想を基にした場合、108未満の三つ子素数はそれぞれ55,600および55,556個と推定されており、さらに上記の推定値は55,490とされています。このように、三つ子素数の存在に関する推定には一定の一致が見られます。

既知の最大の三つ子素数

三つ子素数の中で最大のpを持つものは、2019年4月に発見されたもので、(p, p + 2, p + 6)形式では20008桁792の形をしています。一方で、(p, p + 4, p + 6)形式では、2013年4月に発見された16737桁の素数となっています。

まとめ

三つ子素数は興味深い性質を持ち、数論の中で重要な役割を果たしています。これらの素数の特性や予想に関する研究は、数学の進展に貢献しており、今後の更なる発見に期待が寄せられています。

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