四十六角形

四十六角形

四十六角形は、46本の辺と46個の頂点を持つ多角形です。多角形の内角の和は(辺の数-2)×180°で求められるため、四十六角形の内角の和は(46-2)×180°=7920°となります。また、多角形の対角線の本数は、n(n-3)/2（nは辺の数）で計算でき、四十六角形の対角線の本数は46(46-3)/2 = 989本となります。

正四十六角形

正四十六角形は、すべての辺の長さが等しく、すべての内角の大きさが等しい四十六角形です。正n角形の中心角は360°/nで求められるので、正四十六角形の中心角は360°/46≒7.826°となります。正多角形の外角は中心角と同じ大きさなので、正四十六角形の外角も7.826°です。内角は180°から外角を引いた値なので、正四十六角形の内角は180° - 7.826° ≒172.173°となります。

一辺の長さをaとする正四十六角形の面積Sは、以下の公式で計算できます。

S = (n/4)a²cot(π/n)

ここで、nは辺の数なので、正四十六角形の場合、n=46となります。この公式に当てはめると、

S = (46/4)a²cot(π/46) ≒ 168.12405a²

となります。

正四十六角形の辺の長さ

正四十六角形の一辺の長さを求めるためには、中心角と円の半径を用います。中心角は先述の通り7.826°です。円の半径をrとすると、一辺の長さaは、正弦定理を用いて以下のように計算できます。

a = 2r sin(π/46)

したがって、円の半径がわかれば、正四十六角形の一辺の長さを求めることができます。

cos(2π/46)の表現

cos(2π/46) = cos(π/23) の値は、11次方程式の解を用いて冪根で表現できます。これは、複素数の範囲で解く必要があり、数学的には非常に複雑な計算を伴います。z¹¹=1という11次方程式の複素数解の一つをσとすると、以下の式で表されます。

cos(2π/46) = -((λ₁σ² + λ₂σ⁴ + λ₃σ⁶ + λ₄σ⁸ + λ₅σ¹⁰ + λ₆σ + λ₇σ³ + λ₈σ⁵ + λ₉σ⁷ + λ₁₀σ⁹ -1)/22)

ここで、λ₁, λ₂, ..., λ₁₀ は、ある10次多項式にσを代入した値の11乗根です。これらのλᵢの具体的な値は非常に複雑な式で表されます。

これらの式は、正四十六角形の幾何学的性質と複素数の理論を組み合わせた高度な数学的表現であり、具体的な数値計算にはコンピュータの使用が不可欠です。

正四十六角形の作図

正四十六角形は、定規とコンパスのみを用いた作図が不可能です。これは、46が2のべき乗と異なる素数の積で表せないためです。また、折り紙による作図も不可能です。

まとめ

四十六角形、特に正四十六角形は、その性質を完全に把握するには高度な数学的知識が必要な図形です。辺の数が多いほど、内角や面積、辺の長さの計算は複雑になりますが、その幾何学的性質を理解することで、数学的な思考力を深めることができます。

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