四極子

四極子（クアッドポール）とは

四極子（しきょくし、英: quadrupole）とは、電気的または磁気的な多重極の一種で、モーメントが等しい双極子が、互いに逆向きに2つ接近して並んでいるような単極子の分布を指します。これは、電荷や磁荷の分布をより詳細に記述するための概念です。

四極子の種類

四極子には、単極子を正方形状に配置した「横型」と、直線状に配置した「縦型」の2種類があります。これらの配置の違いは、四極子が生成する場の形状に影響を与えます。

多重極展開における四極子

有限の大きさを持つ電荷分布が作る場を多重極展開した際にも、四極子は重要な役割を果たします。多重極展開は、複雑な電荷分布を、単極子、双極子、四極子といったより単純な要素の組み合わせで近似する手法です。

電気四極子と磁気四極子

電荷の分布によって生じる四極子を「電気四極子」、磁荷の分布によって生じる四極子を「磁気四極子」といいます。電磁気学においては、特に断りがない限り、四極子といえば電気四極子を指すことが多いです。

電気四極子モーメント

電気四極子モーメントは、電荷分布の形状と大きさを表す物理量で、2階の対称テンソルとして定義されます。具体的には、以下の式で表されます。

$$ Q_{ij} = \int dV \rho(r) r_i r_j $$

ここで、$\rho(r)$は位置$\boldsymbol{r}$における電荷密度、$i, j \in \{x, y, z\}$です。直積を用いると、

$$\boldsymbol{Q} = \int dV \rho(r) \boldsymbol{r} \otimes \boldsymbol{r}$$と表すこともできます。また、トレースなしのテンソルとしては以下のように定義されます。

$$\Theta_{ij} = \frac{1}{2} \int dV \rho(r) (3r_i r_j - \delta_{ij} r^2) = \frac{1}{2} [3Q_{ij} - \delta_{ij} (Q_{xx} + Q_{yy} + Q_{zz})]$$

$$\boldsymbol{\Theta} = \frac{1}{2} \int dV \rho(r) (3\boldsymbol{r} \otimes \boldsymbol{r} - \boldsymbol{1}r^2) = \frac{1}{2} (3\boldsymbol{Q} - \boldsymbol{1}\operatorname{tr} \boldsymbol{Q})$$

ここで、$\delta$はクロネッカーのデルタです。

電気四極子による電位

電気四極子モーメントによる電位 $\phi$ は、以下の式で与えられます。

$$\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{\boldsymbol{r}^\intercal \boldsymbol{\Theta} \boldsymbol{r}}{r^5}$$

ここで、$\epsilon$は誘電率です。この式から、四極子のポテンシャルは、距離の5乗に反比例して減衰することがわかります。

四極子のポテンシャルと微分

一般に、四極子のポテンシャル $\phi$ は、単極子のポテンシャル $\phi_{\text{monopole}}$ の空間に関する2階微分で表されます。具体的には、横型四極子の場合には

$$\phi \propto \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \phi_{\text{monopole}}$$

となり、縦型四極子の場合には

$$\phi \propto \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi_{\text{monopole}}$$

となります。これは、四極子が単極子よりも複雑な場の構造を持つことを意味します。

音響学における四極子

四極子は、音響学においても音源の一種として扱われます。特に、複雑な音響現象をモデル化する際に、四極子音源は重要な要素となります。

まとめ

四極子は、電気や磁気の分布を詳細に記述するための重要な概念です。その特徴を理解することで、様々な物理現象をより深く理解することができます。

参考文献

『物理学辞典』 培風館、1984年

関連項目

単極子
双極子
多重極展開
* 四重極磁石

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