モーメント

モーメント：回転運動の鍵を握る物理量

力学において、モーメントは物体の回転運動を記述する上で非常に重要な物理量です。ある点の周りのベクトル量の回転傾向を表し、その大きさと方向によって回転の度合いを定量的に表すことができます。

モーメントの定義

原点Oから点Pへの位置ベクトルを\(\vec{r}\)、点Pにおけるベクトル量を\(\vec{A}\)とすると、O点まわりの\(\vec{A}\)のモーメントは、\(\vec{r}\)と\(\vec{A}\)の外積（ベクトル積）で定義されます。

\(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{A}\)

このモーメント\(\vec{M}\)はベクトル量であり、その大きさは\(r A \sin\theta\)（\(\theta\)は\(\vec{r}\)と\(\vec{A}\)のなす角）で表され、方向は\(\vec{r}\)と\(\vec{A}\)両方に垂直です。右ねじの法則に従って方向が決まります。

ある軸まわりのモーメントは、その軸方向の単位ベクトルを\(\vec{\lambda}\)とすると、混合3重積を用いてスカラー量として表すことができます。

\(M = \vec{\lambda} \cdot (\vec{r} \times \vec{A})\)

運動量のモーメント（角[[運動量]]）

質点の運動を考えましょう。位置ベクトル\(\vec{r}\)にある質点の運動量を\(\vec{p}\)とすると、その運動量のモーメント（角[[運動量]]）\(\vec{L}\)は次のように定義されます。

\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\)

\(\vec{r}\)と\(\vec{p}\)が平行な場合、角[[運動量]]は0となります。これは、質点が観測者から見て直線上を運動していることを意味します。一方、\(\vec{r}\)と\(\vec{p}\)が平行でない場合、質点は観測者から見て回転運動をしているように見えます。角[[運動量]]は、この回転運動の度合いを表す物理量なのです。

力のモーメント（トルク）

点Pに働く力を\(\vec{F}\)とすると、O点まわりの力のモーメント（トルク）\(\vec{\tau}\)は次のように表されます。

\(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\)

トルクは、角[[運動量]]の時間変化率に比例します。つまり、トルクが作用すると、物体の回転運動が変化するのです。回転軸が特定されている場合、その軸まわりのトルクを考えます。

まとめ

モーメントは、ベクトル量の外積によって定義される物理量であり、物体の回転運動を記述する上で非常に重要な役割を果たします。運動量のモーメントは角[[運動量]]、力のモーメントはトルクと呼ばれ、それぞれ回転運動の状態と変化を表しています。これらの概念は、剛体の回転運動や、惑星などの天体の運動を理解する上で不可欠です。

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