対称行列

線型代数学における対称行列

線型代数学において、対称行列は自身の転置行列と等しくなる正方行列として定義されます。具体的には、行列Aが対称であるとは、A = A^T が成り立つことを意味します。ここで、A^T はAの転置行列を表します。対称行列の成分は、主対角線に対して対称に配置されています。つまり、行列の(i, j)成分と(j, i)成分が常に等しくなります。

例えば、以下の3次正方行列は対称行列です。


[1, 7, 3]
[7, 4, -5]
[3, -5, 6]


すべての対角行列は、非対角成分が0であるため、対称行列です。また、歪対称行列（A^T = -A）の対角成分はすべて0になります。

実対称行列

実対称行列は、実数の成分を持つ対称行列です。実対称行列は、直交行列を用いて対角化することができます。これは、有限次元スペクトル定理の重要な結果です。実対称行列の固有値はすべて実数であり、固有ベクトルは互いに直交します。

対角化は、次の式で表されます。

D = Q^TAQ

ここで、Dは対角行列、Qは直交行列です。この分解により、実対称行列の固有値と固有ベクトルを容易に求めることができます。

複素対称行列

複素対称行列は、複素数の成分を持つ対称行列です。複素対称行列は、必ずしも対角化可能ではありません。しかし、ユニタリ行列を用いて「対角化」することができます。これが、オートン高木分解です。オートン高木分解により、複素対称行列Aをユニタリ行列Uを用いて、対角成分が非負実数となる対角行列に変換できます。

U^TAU = diag(r₁, r₂, ..., r_n)

ここで、r_iは非負実数です。各r_iの2乗は、A^*Aの固有値であり、Aの特異値と一致します。

行列演算と対称性

2つの対称行列の和と差は、やはり対称行列となります。しかし、積は必ずしも対称行列になるとは限りません。2つの対称行列AとBの積ABが対称となるのは、AとBが可換（AB = BA）である場合に限ります。

Aが対称行列の場合、任意の整数nに対して、Aⁿも対称行列となります。また、AとBが可換な実対称行列であれば、AとBの両方の固有ベクトルとなるベクトルの集合がRⁿの基底となります。Aの逆行列A^-1が存在する場合、A^-1が対称行列であることと、Aが対称行列であることは同値です。

対称成分

n次正方行列全体の空間をMat_nとすると、n次対称行列の空間Sym_nとn次歪対称行列の空間Skew_nは、Mat_nの直和分解を与えます。

Mat_n = Sym_n ⊕ Skew_n

任意のn次正方行列Xは、対称成分(1/2)(X + X^T)と歪対称成分(1/2)(X - X^T)の和として一意的に表すことができます。

自己随伴性

Rⁿの標準内積⟨ , ⟩を用いると、n次実正方行列Aが対称である必要十分条件は、Aが定める双線型形式が対称であることです。つまり、

⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩ (∀x, y ∈ Rⁿ)

が成り立ちます。この性質は基底の取り方によらず、Aが定める線形作用素と内積のみで決定されます。

その他の性質と分解

対称行列は、様々な重要な性質を持ち、様々な行列分解が適用できます。例えば、コレスキー分解、固有値分解、極分解などが挙げられます。また、任意の実正方行列は、2つの実対称行列の積として表現できます。

二次形式とヘッセ行列

n次実対称行列は、n変数の2回連続微分可能な関数のヘッセ行列として現れます。Rⁿ上の任意の二次形式qは、n次対称行列Aを用いて、q(x) = x^TAxと一意的に表現できます。スペクトル定理により、適当な正規直交基底を選べば、二次形式は次のように簡略化できます。

q(x₁, ..., x_n) = Σ_i=1ⁿ λ_ix_i²

ここで、λ_iは実数です。この表現は、二次形式や円錐曲線の研究において非常に役立ちます。また、多変数関数の二階での挙動は、テイラー展開におけるヘッセ行列に付随する二次形式によって記述されます。

対称化可能行列

正則対角行列Dと対称行列Sを用いて、A = DSと表せる行列Aを対称化可能といいます。対称化可能行列の転置もまた対称化可能です。

まとめ

対称行列は線形代数学において基本的な役割を果たし、その性質は様々な分野に応用されています。本稿では対称行列の定義、性質、演算、そして関連する様々な行列分解について解説しました。これらの概念は、数学、物理学、工学など、幅広い分野で重要な役割を果たしています。

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