固有関数

量子力学における固有関数

量子力学において、固有関数は非常に重要な概念です。ある演算子に対して、その演算子を作用させても関数の形が変わらない、という性質を持つ関数を固有関数と呼びます。より正確には、ある演算子Âを波動関数Ψに作用させた時、次の固有値方程式が成り立つ場合、ΨはÂの固有関数となります。

math
ÂΨ = aΨ


ここで、aは固有値と呼ばれ、演算子ではなく、通常の数（複素数の場合もある）です。 物理量の測定値は、演算子そのものではなく、その固有値として観測されます。 このため、物理量の測定値として観測されるのは、必ず実数になります。この性質を満たすように、演算子Âには制限（例えばエルミート性）が課せられます。

交換関係と同時測定可能性

複数の演算子ÂとB̂を考えましょう。これらの演算子の交換関係は次のように定義されます。

math
[Â, B̂] ≡ ÂB̂ - B̂Â


この交換関係が0である時、つまり、ÂB̂ = B̂Âのとき、「ÂとB̂は交換する」といいます。 二つの演算子が交換するならば、それらは同じ固有関数（同時固有関数）を持ち、対応する物理量は同時に測定可能です。

しかし、多くの場合、演算子は交換しません。代表的な例として、位置演算子x̂と運動量演算子p̂が挙げられます。これらの演算子は交換せず、

math
[x̂, p̂] ≠ 0


となるため、位置と運動量は同時に正確に測定できません（不確定性原理）。これは、実験技術の限界ではなく、量子力学の原理的な制約です。位置を正確に測ろうとすれば、運動量が変化し、逆に運動量を正確に測ろうとすれば、位置が変化してしまうのです。

波動関数の重ね合わせ

位置を正確に測定するということは、位置演算子x̂の固有値を測定することに相当します。測定された瞬間に波動関数は位置の固有関数になります。

math
x̂Ψ = xΨ


しかし、この波動関数は、一般的に運動量の固有関数ではありません。つまり、

math
p̂Ψ ≠ pΨ


となります。この場合、波動関数は様々な運動量の値を持つ状態の重ね合わせとして解釈されます。例えば、

math
Ψ = Ψ_{p=0} + Ψ_{p=0.001} + ...


のような状態となります。

固有関数の物理的意味：定在波

固有関数の物理的意味は、定在波として理解できます。例えば、シュレーディンガー方程式

math
ĤΨ = EΨ


は、ハミルトニアンĤとエネルギー固有値Eに対する固有値方程式です。ポテンシャル中に閉じ込められた粒子は、そのポテンシャル中で波動関数が定在波となるような状態しか取りません。そのため、観測されるエネルギーは連続的ではなく、離散的な値となります。エネルギーEの共役変数である時間tの様々な変化に関わらず、安定して存在する波（定在波）のみが固有関数として許されます。

まとめ

固有関数は、量子力学において、物理量を記述する上で重要な役割を果たします。その物理的意味を理解することで、量子力学の理解が深まります。 本稿では、固有値方程式、交換関係、不確定性原理、そして定在波との関連性について解説しました。これらの概念を理解することは、量子力学の基礎を学ぶ上で不可欠です。

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