圏論の基礎

圏論の基礎（Categories for the Working Mathematician; CWM）

『圏論の基礎』は、現代数学における重要な概念である圏論の確立に大きく貢献したソーンダース・マックレーン自身が著した、この分野の標準的な教科書です。

1971年に初版が刊行された本書は、著者がシカゴ大学をはじめとする複数の教育機関で行った講義を基に構成されています。その出版以来、圏論の基本を学ぶ上で欠かせない文献として、世界中の研究者や学生に読まれ続けています。

対象とする読者

原書のタイトル「Categories for the Working Mathematician」を直訳すると、「働く数学者のための圏」となります。本書の内容紹介によると、ここでいう「働く数学者」とは、特定の専門分野に限定されず、数理科学の様々な領域で研究や学習に携わる人々を指しています。したがって、純粋数学の専門家だけでなく、他の分野で圏論を応用する可能性のある幅広い層を読者として想定しています。

内容の構成

本書は、圏論の基本的な概念から発展的なトピックまでを網羅しており、以下の12章で構成されています。

• - 第一章: 圏、函手、自然変換といった圏論の最も基本的な要素を紹介します。
• - 第二章: 圏を構成する方法について掘り下げます。
• - 第三章: 普遍的構成と極限という、圏論における重要な概念を扱います。
• - 第四章: 随伴（Adjoints）という、二つの圏の間の関係性を表す強力な概念を解説します。
• - 第五章: 極限についてさらに詳しく論じます。
• - 第六章: モナドと代数という、計算機科学などでも重要な概念を導入します。
• - 第七章: モノイドという代数的な構造を圏論的な視点から考察します。
• - 第八章: アーベル圏という、代数的な性質の良い圏のクラスを扱います。
• - 第九章: 特殊なタイプの極限について検討します。
• - 第十章: カン拡張（Kan Extensions）という、普遍性の極致ともいえる高度な概念を解説します。

特に、第十一章「モノイダル圏における対称性と組み上げ」と第十二章「圏の中の構造」は、1998年の第2版で新たに追加されました。これらの章は、当時の物理学（弦理論や場の量子論など）や、より抽象的な高次元圏論への関心の高まりを受けて加えられたものであり、現代的な視点を補強しています。

本書の特徴と評価

『圏論の基礎』は、その網羅性と明快さから、多くの研究者によって高く評価されています。圏論の創始者自らの手による記述は、概念の本質を捉える上で非常に参考になるとされています。

一方で、古典的な著作であるため、一部の用語や記法が、その後の圏論の標準的な慣習とは異なる場合があります。例えば、エピ射やモノ射といった用語の曖昧さを解消しようと、著者が「エピック」「モニック」といった独自の用語を導入した試みは、広く受け入れられるには至りませんでした。

しかしながら、本書が圏論の歴史において果たした役割は非常に大きく、マイケル・アーブ、スティーブ・アウデ、トム・レインスターといった著名な研究者たちも、本書を圏論の基礎文献として、また優れた入門書として高く評価しています。アウデは、本書が「働く数学者」に向けられたものであるとし、より広範な読者に向けた新たな教科書の必要性に言及していますが、それは同時にマックレーンの著作が特定の深さに到達していることの裏返しとも言えます。

総じて、『圏論の基礎』は、圏論という分野の確立と普及に不可欠な役割を果たした記念碑的な一冊であり、この分野を本格的に学びたいと願う者にとって、今なお避けて通ることのできない古典的名著と言えるでしょう。

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