九点円

九点円（きゅうてんえん）

九点円は、任意の三角形において、その形状によらず常に特定の9つの点が同一の円周上にあるという、幾何学における興味深い性質を持つ円の名称です。この円は、発見や関連する重要な定理に貢献した数学者の名前から、オイラー円やフォイエルバッハ円とも呼ばれることがあります。

九点円が通る9つの点とは、具体的には以下の通りです。

三角形の各辺の中点（3点）
各頂点から対辺（またはその延長）に下ろした垂線の足（3点）
三角形の垂心と各頂点を結ぶ線分の中点（3点）

これらの計9点が、必ず一つの円周上にあることが知られています。この円の中心は、元の三角形の垂心と外心とを結ぶ直線（オイラー線として知られる）上、その二点の中点に位置します。また、九点円の半径は、元の三角形の外接円の半径のちょうど半分に等しくなります。

歴史的背景

九点円の発見は、複数の数学者の研究を経て段階的に行われました。三角形の特定の6点（辺の中点と垂線の足）が同一円周上にあることについては、1765年に数学者オイラーが言及したとも伝えられています。

その後、1821年にはフランスの幾何学者ジャン＝ヴィクトル・ポンスレとシャルル・ブリアンションが、前述の6点に加えて垂心と各頂点を結ぶ線分の中点も同一円周上にあることを証明し、合計9点がこの円上にあることを示しました。

この円に関する重要な性質として、1822年にドイツのカール・フォイエルバッハが、この九点円が元の三角形の内接円および三つの傍接円の全てに接するという有名な定理を発表しました。この内容は彼の著書（モノグラフ）の中で詳細に証明されています。

そして1842年、フランスの数学者オルリー・テルケムがフォイエルバッハの定理に解析的な証明を与え、この円に正式に「九点円」（le cercle des neuf points）という名称を与えました。かつてはこの円が「六点円」と呼ばれることもありましたが、現在「六点円」は異なる三角形の円を指す名称として使われています。

九点円が9点を通ることの証明（概要）

九点円が9点を通る証明はいくつか存在しますが、基本的な考え方の一つとして、辺の中点、垂線の足、垂心と頂点の中点から作られる特定の4つの点が長方形を形成することを利用する方法があります。

例えば、ある辺の中点、隣接する辺の中点、その辺に下ろした垂線の足、そして垂心と頂点の中点を結ぶ線分の一部を組み合わせた四辺形を考えると、これが長方形になることが示せます。長方形の4つの頂点は必ず同一円周上にあり、その対角線が円の直径となります。

同様に、別の点の組み合わせからできる四辺形も長方形となり、その頂点も同一円周上にあります。重要なのは、これらの異なる点の組み合わせから導かれる円が、実際には同一の円であることを示すことです。これにより、最終的に9点全てがこの一つの円周上にあることが証明されます。

主な性質と定理

九点円は多くの興味深い性質を持ち、他の重要な定理とも関連しています。

フォイエルバッハの定理

九点円に関する最も有名な定理の一つが、1822年にカール・フォイエルバッハによって証明された以下の定理です。

「三角形の九点円は、その三角形の内接円および三つの傍接円の全てに接する。」

この九点円と内接円との接点は、特にフォイエルバッハ点と呼ばれています。フォイエルバッハの定理は、ロジャースの定理やハートの定理、フォントネーの定理など、より一般的な定理へと拡張されています。

その他の性質

フォイエルバッハの定理以外にも、九点円には以下のような性質があります。

元の三角形の3つの頂点と垂心、これら4点の中から任意の3点を選んで新しい三角形を作ると、その新しい三角形に対する九点円は、元の三角形の九点円と完全に一致します。
外接円上の対蹠点（直径の両端）から、三角形の各辺またはその延長線に下ろした垂線の足は同一直線上に並び、これをシムソン線と呼びますが、外接円の対蹠点から引かれた二本のシムソン線は、九点円上で互いに直交して交わります。
三角形の垂心と、その外接円上の任意の点を結ぶ線分の中点は、必ず九点円上にあるという性質も知られています。

また、九点円の定理に関連して、三角形の内心と各傍心を結ぶ線分の中点や、傍心同士を結ぶ線分の中点は、全て元の三角形の外接円上にあることが導かれます。これは「トリリウムの定理」の内容を含む興味深い性質です。

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