基本アーベル群

基本アーベル群について

基本アーベル群（きほんアーベルぐん、英: elementary abelian group）とは、任意の非自明な元が素数pの位数を持つ群です。この群は、特に有限群において、特別なp-群としての性質を示します。具体的には、pが素数であれは、基本アーベル群は必ずその条件を満たします。特にpが2の場合、この基本アーベル2-群はしばしばブール群（Boolean group）と呼ばれ、注目されます。

基本アーベル群は、p-元体上に構造を持つ有限次元のベクトル空間として理解することもできます。有限生成アーベル群の構造定理によると、任意の有限基本アーベル群は形をとり、具体的には、

$$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$$

という形で表せます。ここで、nは群の階数と呼ばれる非負の整数で、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は位数pの巡回群です。一般的には、基本アーベルp-群は位数pの巡回群がいくつか直和されてできている構造を持っています。この理解が、群論の他の探索へと繋がる重要な鍵となるのです。

例と性質

例えば、基本アーベル群$$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$$は、4つの元を持っています。これらの元は次の通りです:
$$\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$$。この群の加法は成分ごとにmod 2で計算され、例えば$$(1, 0) + (1, 1) = (0, 1)$$となります。この群は、実はクラインの四元群とも一致します。

ブール群の一つの特徴として、任意の元が自身の逆元を持つことが挙げられます。したがって、この性質によりアーベル群であることが保証されます。ブール群は、クラインの四元群の一般化として多くの興味を引きつけます。

また、$$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$$はn元で生成されます。ここでnは生成に必要な独立な元の個数を示しています。

ベクトル空間構造

基本アーベル群$V ≅ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$は、p-元体に属するベクトル空間として考えることができます。この場合、$V ≅ (F_p)^n$の形になり、n次元の$F_p$-ベクトル空間として理解されます。注意が必要なのは、一般には基本アーベル群は標準基底を持たないことです。

このベクトル空間は、スカラー倍の定義も備えた特有の構造を持ちます。群の演算による加法に加え、スカラー倍も定められているのです。

自己同型群

$V$のベクトル空間としての性質により、基底$\{e_1, …, e_n\}$に基づいて、いかなるn個のベクトル$\{v_1, …, v_n\}$を用いた線型変換が存在します。各々の変換は自己同型と見做され、群の準同型として考えることができます。

特に、自己同型群$Aut(V)$は十分に定義され、$GL_n(F_p)$と呼ばれる一般線型群に相当します。この性質が基本アーベル群を特徴付ける重要な要素であり、任意の有限群がこのような自己同型の性質を持つ場合は基本アーベル群に属することを示唆しています。

高階への一般化

さらに、基本アーベル群は他の群と比較して、素数の位数を持つ成分を素冪位数に置き換えることで一般化されることが考えられます。このようにして、階数nのホモサイクリック群が形成され、これがより広範な研究の基盤となるのです。

まとめ

このように基本アーベル群は、そのシンプルな構造と深い数学的性質により、群論の研究において特に重要な役割を果たしています。

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