クラインの四元群

クラインの四元群:巡回群でない最小の群



数学群論において、クラインの四元群は特筆すべき存在です。これは、位数4(要素の個数)を持つ群の中で、最も単純な非巡回群として知られています。通常、VまたはV₄と表記されます。

定義と性質: クラインの四元群は、単位元eと、それぞれ位数2(自分自身を2回演算すると単位元になる)の要素a, b, cから構成されます。これらの要素の演算は可換(交換法則が成り立つ)であり、以下の演算表で表せます。

* e a b c
----
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

この演算表からわかるように、任意の二つの要素の積は、群の他の要素になります。また、可換性(ab = ba)も確認できます。このような性質を持つ群はアーベル群と呼ばれます。

他の表現と同型: クラインの四元群は、様々な方法で表現できます。例えば、整数2を法とする剰余群の直積であるℤ₂ × ℤ₂と同型です。ℤ₂は{0, 1}を要素とし、加算を法2で定義した群です。この直積群では、(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)が要素となり、クラインの四元群と対応付けられます。

さらに、二面体群D₂(正方形の対称群)とも同型です。D₂は、単位元、水平方向の線対称、垂直方向の線対称、180度回転から構成され、その演算規則はクラインの四元群の演算規則と一致します。

また、4次交代群A₄(4文字の置換群のうち偶置換からなる群)の正規部分群としても表現できます。具体的には、{id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}という部分集合がクラインの四元群をなします。ここでidは恒等置換を表し、(1,2)(3,4)などは置換を表します。

重要性: クラインの四元群は、位数が小さいにもかかわらず、群論における様々な概念を理解する上で重要な役割を果たします。群の構造、同型、直積、正規部分群といった基本的な概念を学ぶ際に、優れた例題となります。また、より複雑な群の構造を理解するための基礎としても役立ちます。

関連する概念: クラインの四元群を理解するためには、群論の基本的な概念である群、群の演算、単位元、位数、可換群、巡回群、直積、正規部分群、同型といった用語を理解する必要があります。

関連人物: フェリックス・クラインは、この群を研究した数学者の一人であり、彼の名前にちなんでこの群は命名されました。また、クライン群という、クラインの四元群と関連する概念が存在します。クライン群は、双曲幾何学において重要な役割を果たす群です。

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