基準振動

基準振動について

基準振動（きじゅんしんどう）とは、さまざまな振動の基礎となる特定の単振動を指す用語です。この概念は、物理学や工学において多くの応用があり、基準モード、ノーマル振動、ノーマルモードとも呼ばれることがあります。

概要

基準振動は、自由度が2以上の系における振動特性を理解するための重要な手段です。平衡状態からの変位を一般化座標として表現すると、運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーVは、それぞれ以下のように表されます。

• - 運動エネルギー:

$$T = \frac{1}{2} \sum_{i,j} \alpha_{ij} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}$$

• - ポテンシャルエネルギー:

$$V = \frac{1}{2} \sum_{i,j} \beta_{ij} q_{i} q_{j} + (\text{qの3次以上の項})$$

ここで、qの1次の項が存在しないのは、平衡状態においてすべての一般化座標がゼロであるためです。この状態において、TとVは微小変位（qの絶対値があまり大きくない場合）に基づいて二次形式となり、解析が容易になります。

基準座標の変換

一般化座標から新しい座標系に変換することで、運動エネルギーTおよびポテンシャルエネルギーVは以下のように変換されます。

• - 変換された運動エネルギー:

$$T = \frac{1}{2} \sum_{i} \dot{Q}_{i}^{2}$$

• - 変換されたポテンシャルエネルギー:

$$V = \frac{1}{2} \sum_{i} b_{i} Q_{i}^{2} \quad (b_{i} > 0)$$

ここで、$b_{i}$は基準振動数の二乗です。特に、\(Q_{i}\)が基準座標を表し、またそれに基づく振動が基準振動と呼ばれます。基準振動数は、\(ν_{i}/2π\)という形で表現され、基準座標の振幅を反映しています。

このように、基準振動は振動の様式を際立たせ、特徴付ける重要な概念です。具体的には、基準振動は特定の振幅比での運動を示し、基準モードやノーマルモードと呼ばれることがあります。これにより、連続体の振動についても、波動方程式に基づき定常波の重ね合わせとして表現されることになります。

基準座標の求め方

運動エネルギーTと位置エネルギーVは対称行列として表現可能です。この2つの対称行列は、合同変換を用いて同時に対角化でき、その新たに得られた座標系が基準座標となります。

分子と原子核の振動

分子振動において、n原子分子の自由度は3nから並進運動と回転の自由度を引いたものとなり、基準振動の個数と一致します。また、分子に対称性がある場合には、基準振動もその対称性に従って分類されます。さらに、原子核の振動に関しては、振幅が小さく、非調和・非線形の影響が軽微な振動モードを基準振動として考察することが可能です。

参考文献

『物理学辞典』 培風館、1984年

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