境界付き多様体

境界付き多様体とは

境界付き多様体は、微分幾何学における多様体の一般化であり、多様体の概念を拡張したものです。通常の多様体は境界を持たない図形を指しますが、境界付き多様体は境界を持つ図形も扱うことができます。これにより、より広い範囲の図形を数学的に扱うことが可能になります。例えば、円盤や半球などは境界付き多様体の例です。

定義

上半空間

まず、上半空間 \( \mathbb{H}^n \) を以下のように定義します。

math
\mathbb{H}^n := \{ (x^1, \dots, x^n) \in \mathbb{R}^n \mid x^n \geq 0 \}


これは \( n \) 次元ユークリッド空間 \( \mathbb{R}^n \) の部分集合で、\( n \) 番目の座標 \( x^n \) が非負である点全体を指します。この上半空間には \( \mathbb{R}^n \) の部分空間位相が与えられ、\( \mathbb{H}^n \) 全体は開かつ閉集合となります。

境界付き位相多様体

次に、\( n \) 次元境界付き位相多様体を定義します。これは以下の条件を満たすハウスドルフ空間です。

1. 第二可算公理を満たすこと。
2. 任意の点が、上半空間 \( \mathbb{H}^n \) の開部分集合 \( V \) に同相な開近傍を持つこと。

この定義により、境界付き多様体は局所的には上半空間と同相な構造を持つことが保証されます。

一般化チャート（座標近傍）

境界付き多様体 \( M \) の開集合 \( U \) から \( \mathbb{H}^n \) の開集合 \( V \) への同相写像 \( \phi: U \to V \subset \mathbb{H}^n \) の組 \( (U, \phi) \) を一般化チャート（座標近傍）と呼びます。これは多様体上の点を座標を使って表現するための道具です。

境界

上半空間 \( \mathbb{H}^n \) の境界 \( \partial \mathbb{H}^n \) は、\( x^n = 0 \) を満たす点全体の集合です。境界付き多様体 \( M \) の点 \( x \in M \) が境界点であるとは、\( x \in U \) かつ \( \phi(x) \in \partial \mathbb{H}^n \) であるようなチャート \( (U, \phi) \) が存在する場合を指します。すべての境界点からなる集合を \( \partial M \) と書き、\( \partial M \) の連結成分は「境界成分」と呼ばれます。

特に、\( \partial M \) が空集合の場合、\( M \) は通常の（境界のない）多様体となります。

構造

可微分構造

境界のない多様体と同様に、境界付き多様体にも可微分構造を定義できます。境界付き可微分多様体は、任意の二つのチャート \( (U, \phi), (V, \psi) \) について、写像

math
\phi \circ \psi^{-1}|_{\psi(U \cap V)} : \psi(U \cap V) \to \phi(U \cap V)


が微分同相であるような多様体として定義されます。ここで \( \phi \circ \psi^{-1} \) の定義域 \( \psi(U \cap V) \) が \( \mathbb{H}^n \) の境界点を含む場合、その微分可能性を調べるためには、\( \psi(U \cap V) \) を含む \( \mathbb{H}^n \) の部分集合ではないような \( \mathbb{R}^n \) の開集合を取る必要があります。すべての境界付き多様体に微分構造を定義できるわけではなく、また、境界付き多様体は通常の多様体同様に異なる微分構造を持つ可能性があります。

向き付け

境界付き可微分多様体 \( M \) において、境界 \( \partial M \) は \( M \) の部分多様体です。\( M \) が向き付け可能であると仮定すると、境界 \( \partial M \) も向き付け可能になります。これは、境界付き多様体が持つ重要な性質の一つです。

ストークスの定理

境界付き多様体を利用することで、ストークスの積分定理を簡潔かつエレガントに定式化できます。\( M \) を向き付けられた \( n \) 次元境界付き可微分多様体とし、\( \omega \) をコンパクト台を持つ \( n-1 \) 次の微分形式とすると、以下の式が成り立ちます。

math
\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega


ここで \( d\omega \) は微分形式 \( \omega \) の外微分を表します。\( M \) が境界を持たない場合、右辺の積分は 0 になり、\( M \) が1次元多様体の場合、右辺の積分は有限和となります。

頂点付き多様体

定義

\( \overline{\mathbb{R}^n_+} \) を、\( \mathbb{R}^n \) の点であってすべての座標が非負であるもの全体の集合とします。すなわち、

math
\overline{\mathbb{R}^n_+} = \{ (x^1, \dots, x^n) \in \mathbb{R}^n : x^1 \geq 0, \dots, x^n \geq 0 \}


この集合は \( \mathbb{H}^n \) と同相ですが、微分同相ではありません。境界を持つ位相多様体 \( M \) において、頂点を持つ多様体とは、局所的に \( \overline{\mathbb{R}^n_+} \) の開部分集合と微分同相な多様体のことです。このとき、\( M \) のチャートは「頂点付きチャート」と呼ばれます。

頂点付きチャート

頂点付きチャートは、対 \( (U, \phi) \) であり、\( U \subset M \) が \( M \) の開部分集合で、写像

math
\phi : U \to \tilde{U} \subset \overline{\mathbb{R}^n_+}


が同相写像であるものです。2つの頂点付きチャート \( (U, \phi) \) と \( (V, \psi) \) が整合的であるとは、写像

math
\phi \circ \psi^{-1} : \psi(U \cap V) \to \phi(U \cap V)


が滑らかであることをいいます。

頂点付き滑らかな構造

境界付き位相多様体の頂点付き滑らかな構造とは、\( M \) を被覆する頂点付き整合的チャートからなる極大集合のことです。頂点付き滑らかな構造を持つ境界付き位相多様体を頂点付き多様体と呼びます。

注意点

\( \overline{\mathbb{R}^n_+} \) は \( \mathbb{H}^n \) と同相であるため、境界付き多様体と頂点付き多様体は位相的には区別できません。したがって、可微分構造を持たない頂点付き（位相）多様体を定義することは無意味です。頂点付き多様体の例としては、長方形が挙げられます。

まとめ

境界付き多様体は、多様体の概念を拡張したものであり、境界を持つ図形を扱うことができます。可微分構造や向き付けの概念も拡張されており、ストークスの定理など、様々な数学的道具を適用できます。また、頂点付き多様体は、境界付き多様体の特別な場合として定義され、より具体的な図形を扱う上で有用です。

これらの概念は、数学や物理学のさまざまな分野で重要な役割を果たしています。

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