境界条件

境界条件（英: Boundary Condition）

境界条件とは、数学、特に物理学において、境界値問題を解くために課される拘束条件のことです。境界値問題とは、ある領域における微分方程式の解を求める問題であり、その解は領域の境界における条件によって大きく左右されます。

境界条件の役割

境界条件は、解の探索領域とそれ以外の領域を区別するために設定されます。境界上では、領域内部で成り立つ方程式だけでは解の形状を一意に決定できません。そのため、境界における解の値や、解の連続性、滑らかさなど、補助的な条件を設定することで解を特定します。

境界条件は、対象とする境界値問題よりも一般的に成り立つと考えられる解の性質に基づいて決定されます。例えば、物理現象をモデル化する場合、境界における物理量が既知であるとか、境界を越えて物理量が連続であるといった条件が用いられます。

境界条件の種類

境界条件には様々な種類があり、問題に応じて適切なものが選択されます。代表的な境界条件として、以下のようなものがあります。

ディリクレ境界条件: 境界上での解の値を指定する条件。
ノイマン境界条件: 境界上での解の微分（法線微分）の値を指定する条件。
コーシー境界条件: 境界上での解の値とその微分の値を指定する条件。
周期的境界条件: 境界の両端で解の値が等しくなる条件。
ロビン境界条件: 解の値と微分の線形結合を境界上で指定する条件。
ハートル＝ホーキングの境界条件: 量子宇宙論における特異点回避のための境界条件。

初期条件

時間的な境界条件の一つとして、初期条件があります。初期条件は、時間発展を記述する方程式において、初期時刻における解の状態を指定するものです。応用上特別な意味を持つため、一般の境界条件とは区別して扱われることが多いです。例えば、物体の運動を記述する方程式を解く場合、初期位置と初期速度を与えることが初期条件となります。

境界条件の重要性

境界条件は、境界値問題の解を決定する上で非常に重要な役割を果たします。適切な境界条件を設定することで、現実の物理現象や工学的な問題を正確にモデル化し、その挙動を予測することが可能になります。

関連項目

数学
物理学
数値解析
微分方程式
マイケル・ポランニー
階層構造
Off-by-oneエラー

外部リンク

境界条件 - コトバンク

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