周期的境界条件

周期的境界条件：無限系を近似する手法

周期的境界条件（Periodic Boundary Condition, PBC）とは、シミュレーションにおいて系の境界を周期的に繰り返すと仮定する境界条件です。これは、有限サイズの系を用いて無限に広がる系を近似するために用いられる重要な手法です。

1次元の場合

1次元の系において、長さLの定義域を持つ関数f(x)が周期的境界条件を持つ場合、以下の式が成り立ちます。

f(x) = f(x + L)

これは、x + Lの位置の関数の値がxの位置の値と等しいことを意味します。まるで関数のグラフが、長さLで周期的に繰り返されているかのように振る舞います。

結晶への応用：ボルン・フォン・カルマン境界条件

周期的境界条件は、特に並進対称性を持つ系、例えば結晶構造のシミュレーションにおいて広く利用されています。

単位胞の長さがa、系の長さがLである1次元結晶を考えましょう。波動関数Ψ(x)に対して、以下の境界条件が適用されます。

Ψ(x) = Ψ(x + L)

この場合、Lはaの整数倍でなければなりません。つまり、L = na (n = 1, 2, 3, ...)です。この条件はボルン・フォン・カルマン境界条件と呼ばれ、系の周期性を明確に示しています。

周期的境界条件を課すことで、波動関数をLの範囲内で自乗可積分にすることができ、規格化が可能になります。これは、系の有限性を考慮しつつも、無限系の性質を反映した計算を行う上で非常に重要です。

この手法は、系の表面効果が無視できる場合に有効です。系のサイズLを十分大きくすることで、表面効果の影響を小さくし、無限系への近似精度を高めることができます。

多次元の場合

N次元系への拡張も容易です。線形独立なN個のベクトル L₁, L₂, ..., Lₙ を用いて、N次元空間における周期的な境界条件を以下のように表現できます。

g(x) = g(x + L₁) = g(x + L₂) = ... = g(x + Lₙ)

ここで、g(x)はN次元空間における関数です。各Lᵢは、系の周期性を示すベクトルです。結晶の場合、これらのベクトルは基本並進ベクトルaᵢの整数倍となります。

この場合も、基本並進ベクトルa₁, a₂, ..., aₙ が作る単位胞を、L₁, L₂, ..., Lₙ が作る胞が周期的に敷き詰める必要があります。

周期的境界条件を用いる計算手法

周期的境界条件は、様々な計算手法において重要な役割を果たしています。代表的な例として、以下の手法が挙げられます。

分子動力学法: 原子や分子の運動をシミュレーションする手法。PBCにより、バルク系の性質を精度よく計算できます。
第一原理バンド計算: 電子状態を量子力学的に計算する手法。PBCにより、結晶のバンド構造を計算できます。

関連用語

* 並進対称性: 空間をあるベクトルだけ平行移動しても系の状態が変わらない性質。周期的境界条件はこの性質を仮定しています。

このように、周期的境界条件は、有限サイズの計算系を用いて無限系を近似する強力な手法であり、様々な分野のシミュレーションで広く利用されています。

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