変分法

変分法：関数の関数の極値を求める

変分法は、解析学の一分野であり、汎関数の極値（最大値や最小値）を求める手法です。汎関数とは、関数の集合を入力として実数を返す関数のこと。多くの場合、関数とその導関数を用いた定積分として表現されます。変分法の主要な目的は、与えられた汎関数を最大化または最小化する関数を特定することです。そのような関数は、極値関数または停留関数と呼ばれます。

簡単な例：最短曲線

最も単純な例として、2点を結ぶ最短曲線の問題が挙げられます。制約がない場合、明らかに直線が最短経路となります。しかし、曲線が特定の曲面上にあるなどの制約が加わると、解は自明ではなくなり、複数の解が存在する可能性もあります。このような問題の解は、測地線と呼ばれます。光学におけるフェルマーの原理（光は2点間を最短の光学的距離で進む）も、力学における最小作用の原理と関連した変分法の応用例です。

多変数関数を含む問題

変分法は、多変数関数を含む問題にも適用されます。例えば、ラプラス方程式の境界値問題の解はディリクレの原理を満たします。また、プラトーの問題（空間内の閉曲線を張る面積が最小の曲面、極小曲面を求める問題）は、石鹸膜の実験で視覚的に理解できます。しかし、数学的な解釈は、複数の局所的最小値が存在したり、非自明な位相を持つ可能性があるため、容易ではありません。

歴史

変分法の歴史は、1696年にヨハン・ベルヌーイが提示した最速降下曲線問題に始まります。この問題は、ヤコブ・ベルヌーイやロピタルらも注目し、1733年にオイラーが初めて詳細に論じました。その後、ラグランジュがオイラーの研究に影響を受け、変分法に大きく貢献します。1755年、19歳だったラグランジュの研究に触発されたオイラーは、自身の幾何学的なアプローチを放棄し、ラグランジュの純粋に解析的なアプローチを採用しました。1756年の講義で、オイラーはこの分野を「変分法」と命名しました。

ルジャンドルは1786年に最大値と最小値を区別する方法を確立しましたが、完全ではありませんでした。ニュートンやライプニッツも初期から関心を示しており、その後も、ブルナッチ、ガウス、ポアソン、オストログラツキー、ヤコビなど多くの数学者がこの分野の発展に貢献しました。サラス（1842年）の重要な成果は、コーシーによって要約・改良され、さらにワイエルシュトラスによる画期的な貢献によって変分法は堅固な基盤を築きました。ヒルベルトの23の問題（1900年）も変分法の発展を促し、20世紀にはヒルベルト、ネーター、トネリ、ルベーグ、アダマールらが重要な研究を行いました。モース理論は変分法の応用として知られ、ポントリャーギン、ロッカフェラー、クラークらは最適制御理論において新たな数学的手法を開発しました。ベルマンの動的計画法は、変分法の代替アプローチの一つです。

極値

変分法の中心は、汎関数の極値です。汎関数は関数を入力とし、実数を返す関数と見なせます。与えられた関数空間において、汎関数は極値を持ちます。汎関数J[y]が関数fにおいて極値を持つとは、fの小さな近傍における任意の関数yについて、増分ΔJ = J[y] - J[f]が同じ符号を持つことを意味します。この時、fは極値関数と呼ばれます。連続関数空間では、一階導関数の連続性によって弱極値と強極値が定義されます。オイラー・ラグランジュ方程式は、弱極値を求めるための必要条件の一つです。

変分と極小値に関する十分条件

変分法では、関数のわずかな変化による汎関数の小さな変動（変分）を調べます。一次変分は汎関数の増分の一次成分、二次変分は二次成分として定義されます。汎関数の微分可能性は、一次変分と二次変分の存在によって定義されます。二次変分が強く正であるとは、ある定数k>0が存在して、任意のhに対し、δ2J[h] ≥ k‖h‖2を満たすことを言います。汎関数J[y]がy=ŷにおいて極小となるための十分条件は、y=ŷにおいて一次変分が0であり、かつ二次変分が強く正であることです。

関連文献

変分法に関する多くの書籍や論文が存在します。上記の記述は、これらの文献を参考に作成されています。より詳細な内容や具体的な応用例については、これらの文献を参照ください。

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