変数分離

変数分離

変数分離（へんすうぶんり、英: Separation of variables）は、常微分方程式や偏微分方程式といった微分方程式を解くための基本的な手法の一つです。この方法では、方程式に含まれる複数の変数に関する項を、各変数のみに依存する形に変形し、式の両辺に分離することで、問題をより扱いやすい単一変数の方程式へと帰着させます。

この手法は常微分方程式と偏微分方程式の両方に適用されますが、その具体的な手順は異なります。しかし、各変数を分離するという根本的な考え方は共通しています。

常微分方程式における変数分離

常微分方程式において、変数分離が可能なのは、一般的に `dy/dx = g(x)h(y)` の形に書ける場合です。ここで `g(x)` は `x` のみの関数、`h(y)` は `y` のみの関数です。

`h(y) ≠ 0` の区間では、方程式を `dy / h(y) = g(x) dx` と変形できます。これは、導関数 `dy/dx` を形式的に分数と見なし、分母を払う操作に相当します。この変形により、左辺は `y` のみ、右辺は `x` のみの項となります。

この分離された式の両辺を積分することで解が得られます。

`∫ (1 / h(y)) dy = ∫ g(x) dx`

この積分を実行し、必要に応じて `y` について解くことで、一般解が得られます。積分定数は両辺に現れますが、一つにまとめることができます。

変数で割る操作を行う際は、`h(y) = 0` となる可能性のある `y` の値を別に検討する必要があります。これらの値が特異解となることがあります。

例1: 微分方程式 `dy/dx = y(1-y)` を考えます。
これは変数分離可能な形であり、`y(1-y) ≠ 0` の場合、`dy / (y(1-y)) = dx` と変数分離できます。両辺を積分すると `∫ dy / (y(1-y)) = ∫ dx` となります。部分分数分解を用いて積分計算を進めると、一般解として `y = 1 / (1 + B e^-x)` （Bは任意定数）などが得られます。
また、変数分離の際に除外した `y = 0` および `y = 1` も元の微分方程式を満たす解であり、これらは特異解です。

例2: 2階の常微分方程式の中にも、適切な変換や求積法を併用することで変数分離に帰着できるものがあります。例えば `x d^2y/dx^2 + (1+P(y)) dy/dx = 0` のような方程式がこれに該当し、求積法と組み合わせて解かれることが多いです。

偏微分方程式における変数分離

偏微分方程式に変数分離法を適用する場合、まず解となる未知関数が各変数の関数それぞれの積の形で書けると仮定します。例えば、未知関数 `F(x, y)` なら `F(x, y) = X(x)Y(y)` のように仮定します。

この仮定を元の偏微分方程式に代入し、変形すると、多くの場合、各変数の関数のみに依存する項が分離され、それぞれが定数（分離定数）に等しいという形になります。これにより、元の偏微分方程式をいくつかのより単純な常微分方程式のセットに分解することができます。

例1: 3変数関数 `F(x, y, z)` に関する偏微分方程式 `∂^2F/∂x^2 + ∂^2F/∂y^2 + ∂^2F/∂z^2 = 0` を考えます。
解を `F(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z)` と仮定して代入・整理すると、`(1/X) (d^2X/dx^2) + (1/Y) (d^2Y/dy^2) + (1/Z) (d^2Z/dz^2) = 0` となります。各項が定数（分離定数 `c1, c2, c3`）に等しく、`c1 + c2 + c3 = 0` の関係を満たすことから、`d^2X/dx^2 = c1 X`, `d^2Y/dy^2 = c2 Y`, `d^2Z/dz^2 = c3 Z` という3つの常微分方程式に分解されます。

例2: 2変数関数 `F(x, y)` に関する偏微分方程式 `∂F/∂x = ∂^2F/∂y^2` を考えます。
解を `F(x, y) = X(x)Y(y)` と仮定して代入・変形すると、`(dX/dx) Y = X (d^2Y/dy^2)` となり、これを変形すると `(1/X) (dX/dx) = (1/Y) (d^2Y/dy^2)` となります。左辺は `x` のみ、右辺は `y` のみの関数であるため、両辺は変数に依存しない定数 `λ` に等しいはずです。

これにより、`dX/dx - λX = 0` および `d^2Y/dy^2 - λY = 0` という二つの常微分方程式が得られます。これらの常微分方程式を解くことで、元の偏微分方程式の解を構成することができます。

変数分離法は、微分方程式を解くための強力かつ基本的なツールであり、物理学や工学など多くの分野で現れる微分方程式の解析に不可欠です。

もう一度検索