求積法

求積法とは

求積法（きゅうせきほう、英: quadrature）とは、定積分を計算する方法を指します。特に、平面上の領域や曲面の面積を求める際に用いられることが多いです。また、微分方程式論においては、有限回の不定積分を用いて常微分方程式の解を表す方法を意味します。

語源

英語の「quadrature」は、ラテン語の「quadratum」（正方形）に由来します。これは、求積法が与えられた領域と等しい面積を持つ正方形を見つけることに対応していたためです。

微分方程式の解法例

求積法は、特定の種類の微分方程式を解くために有効な手法です。以下に、求積法を用いて解ける主な1階常微分方程式の例を挙げます。

基本的な解法

次の1階常微分方程式を考えます（ここで、Fは任意の関数）。

math
\frac{dy}{dx} = F(y)


この式は、次のように書き換えることができます。

math
\frac{dy}{F(y)} = dx


この形にすることで、両辺を不定積分することができます。

math
\int \frac{dy}{F(y)} = \int dx


積分を実行すると、以下のようになります。

math
\int \frac{dy}{F(y)} = x + x_0


ここで、x₀は積分定数です。左辺の不定積分の逆関数をφとすると、陽な解は次のように表せます。

math
y = \phi(x - x_0)

求積法で解ける主な1階常微分方程式

1階線形常微分方程式

1階線形常微分方程式は、次のように表されます。

math
\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)


この一般解は、Cを積分定数として、次の式で与えられます。

math
y = e^{-\int p(x)dx} \left(\int q(x)e^{\int p(x)dx} dx + C\right)

同次常微分方程式

同次常微分方程式は、次のように表されます。

math
\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})


この方程式を解くために、y = ux とおくと、同次常微分方程式は次のようになります。

math
\frac{du}{dx} = \frac{f(u) - u}{x}


これは変数分離形なので、積分計算を行うことで、同次常微分方程式の一般解は次の式で与えられます。

math
\int \frac{du}{f(u)-u} = \ln|x| + C


ここで、Cは積分定数です。

Bernoulli型の常微分方程式

Bernoulli型の常微分方程式は、次のように表されます。

math
\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n


この式に対して、z = y^(1-n) とおくと、次のようなzに関する1階線形常微分方程式に帰着します。

math
\frac{dz}{dx} + (1-n)p(x)z + (1-n)q(x) = 0

Clairaut型の常微分方程式

Clairaut型の常微分方程式は、次のように表されます。

math
y = xp + f(p)


ここで、p = dy/dx です。この一般解は、y = Cx + f(C) という直線族で表されます。また、特異解は、この直線族の包絡線であり、元の式とx + df(p)/dp = 0 からpを消去することで得られます。

Lagrange型の常微分方程式

Lagrange型の常微分方程式は、次のように表されます。

math
y = x\varphi(p) + \psi(p)


この式の両辺をxで微分すると、xとpに関する1階線形常微分方程式が得られます。

math
[\varphi(p)-p]\frac{dx}{dp} + \frac{d\varphi(p)}{dp}x + \frac{d\psi(p)}{dp} = 0


この解と元の式からpを消去すれば、一般解が得られます。または、pを媒介変数として考えることもできます。この方程式は、ダランベール（d'Alembert）の微分方程式とも呼ばれます。

Riccati型の常微分方程式

Riccati型の常微分方程式は、次のように表されます。

math
\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2


この常微分方程式は、m = -2, m = 4k/(1 - 2k) (kは整数) の場合に求積法で解けます。

完全微分方程式

完全微分方程式は、次の形で表されます。

math
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0


この方程式が解ける条件は、以下の式が成り立つときです。

math
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}


このとき、一般解は次のように表すことができます。

math
\int P dx + \int \left(Q - \frac{\partial}{\partial y} \int P dx\right)dy = C


ここで、Cは積分定数です。

まとめ

求積法は、定積分を求めるための重要な手法であり、特に微分方程式の解法において、特定の条件下で有効な手段となります。この記事で紹介した様々な微分方程式の解法例を通して、求積法の応用範囲の広さを理解していただければ幸いです。

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