多値論理
多値論理は、古典論理における真（True）と偽（False）の二値だけでなく、三つ以上の真理値を扱う論理体系です。これは非古典論理の一種であり、真偽の二分法では表現しきれない複雑な状況を扱うために発展しました。
多値論理の背景には、「真」「偽」以外に「不明」という状態も存在しうるという考え方があります。この発想から、まず3値論理が登場しました。しかし、3値だけでは表現が不十分な場合もあり、4つ以上の真理値を持つ体系も研究されています。さらに、無限個の真理値を扱う体系も存在し、その集合は自然数全体、実数全体、または0から1の間の実数といったように定義されます。
多値論理の研究は、真理値全体の束をリンデンバウム代数として捉えることで進められてきました。特に、ウカシェヴィチの論理は、部分構造論理との関連で注目されています。ウカシェヴィチの論理では、真理値として0から1までの値を取り、nを自然数としたとき、1/nから(n-1)/nの間の値を取ります。さらに、(n+1)値論理、有理数、実数の値を取る無限値論理などのバリエーションが存在します。
論理演算子の一つである含意（→）は、命題φの真理値をa、ψの真理値をbとしたとき、(φ → ψ)の真理値はmax(1 - a + b, 1)で定義されます。また、(φ → [n]ψ)は、(φ → [1]ψ) ⇔ (φ → ψ)、(φ → [i+1]ψ) ⇔ (φ → (φ → [i]ψ))と定義されます。この場合、古典論理や直観主義論理では真理値はnに依存しませんが、ウカシェヴィチの論理では真理値はnに依存し、max((1 - a)n + b, 1)で表されます。特に、φが0や1以外の真理値を取る場合、あるmが存在し、nがm以上になると(φ → [n]ψ)は常に真となります。
現在のコンピュータは、二値論理を基盤としたディジタル回路で構成されています。しかし、多値論理を導入することで、1本の信号線やゲートでより多くの情報を扱える可能性があり、高性能化が期待されます。研究レベルでは盛んに研究が行われてきましたが、現状では二値コンピュータが十分に高性能であるため、多値論理ハードウェアの実用化は進んでいません。しかし、MLC（Multi Level Cell）のNAND型フラッシュメモリや、三進法コンピュータSetunなど、一部実用化された例も存在します。
ファジィ論理は、真理値集合を0から1までの実数とする多値論理であり、ファジィコンピュータと呼ばれる研究分野では、これを直接実装しているものもあります。また、実際のコンピュータでは、電気信号としてHとLだけでなく、トライステートと呼ばれる「接続を断った状態」（ハイインピーダンス）や、「どんな値でも良い」（don't care）といった値も利用されており、ある意味で多値論理的な考え方が活用されています。
古典論理は、真理値集合を完備ブール代数とするもので、必ずしも真偽値は二値である必要はありません。また、直観主義論理は、真理値集合を完備ハイティング代数とするものであり、ある意味では多値論理の一種とみなすこともできます。完備ブール代数は、完備ハイティング代数の特殊な場合です。
多様な「多値」
多値論理の背景には、「真」「偽」以外に「不明」という状態も存在しうるという考え方があります。この発想から、まず3値論理が登場しました。しかし、3値だけでは表現が不十分な場合もあり、4つ以上の真理値を持つ体系も研究されています。さらに、無限個の真理値を扱う体系も存在し、その集合は自然数全体、実数全体、または0から1の間の実数といったように定義されます。
概要
多値論理の研究は、真理値全体の束をリンデンバウム代数として捉えることで進められてきました。特に、ウカシェヴィチの論理は、部分構造論理との関連で注目されています。ウカシェヴィチの論理では、真理値として0から1までの値を取り、nを自然数としたとき、1/nから(n-1)/nの間の値を取ります。さらに、(n+1)値論理、有理数、実数の値を取る無限値論理などのバリエーションが存在します。
論理演算子の一つである含意（→）は、命題φの真理値をa、ψの真理値をbとしたとき、(φ → ψ)の真理値はmax(1 - a + b, 1)で定義されます。また、(φ → [n]ψ)は、(φ → [1]ψ) ⇔ (φ → ψ)、(φ → [i+1]ψ) ⇔ (φ → (φ → [i]ψ))と定義されます。この場合、古典論理や直観主義論理では真理値はnに依存しませんが、ウカシェヴィチの論理では真理値はnに依存し、max((1 - a)n + b, 1)で表されます。特に、φが0や1以外の真理値を取る場合、あるmが存在し、nがm以上になると(φ → [n]ψ)は常に真となります。
コンピュータとの関連
現在のコンピュータは、二値論理を基盤としたディジタル回路で構成されています。しかし、多値論理を導入することで、1本の信号線やゲートでより多くの情報を扱える可能性があり、高性能化が期待されます。研究レベルでは盛んに研究が行われてきましたが、現状では二値コンピュータが十分に高性能であるため、多値論理ハードウェアの実用化は進んでいません。しかし、MLC（Multi Level Cell）のNAND型フラッシュメモリや、三進法コンピュータSetunなど、一部実用化された例も存在します。
ファジィ論理は、真理値集合を0から1までの実数とする多値論理であり、ファジィコンピュータと呼ばれる研究分野では、これを直接実装しているものもあります。また、実際のコンピュータでは、電気信号としてHとLだけでなく、トライステートと呼ばれる「接続を断った状態」（ハイインピーダンス）や、「どんな値でも良い」（don't care）といった値も利用されており、ある意味で多値論理的な考え方が活用されています。
古典論理、直観主義論理との関連
古典論理は、真理値集合を完備ブール代数とするもので、必ずしも真偽値は二値である必要はありません。また、直観主義論理は、真理値集合を完備ハイティング代数とするものであり、ある意味では多値論理の一種とみなすこともできます。完備ブール代数は、完備ハイティング代数の特殊な場合です。
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