3値論理

3値論理とは

3値論理（英: ternary, three-valued or trivalent logic）は、古典論理における真（true）と偽（false）の二値に加え、第三の真理値を持つ論理体系です。これは多値論理の一種であり、古典論理が前提とする排中律を緩和することで、より柔軟な論理的表現を可能にします。

背景

古典論理は、ある命題が真か偽のいずれかであるという排中律に基づいています。しかし、クルト・ゲーデルが「正しいが証明できない命題」の存在を証明したことで、この二値論理の限界が認識されるようになりました。これにより、「二重否定の除去」を認めない直観主義論理などが登場し、真、偽に加え、「真偽が証明不能」という第三の真理値の必要性が生じました。この考え方は、様相論理学にも関連しています。

概要

古典論理では真理値は真と偽の2値ですが、哲学や数学の分野では「可能性」や「未定義」といった概念を扱うために、真でも偽でもない値が必要となる場合があります。例えば、「明日は雨が降る」という命題は、明日になるまでは真偽が確定しません。そこで、真偽に加えて第三の値を取り扱う3値論理が生まれました。

古代ギリシアのアリストテレスも、未来の出来事を表す命題には真偽が定まらない「可能性」が存在すると述べており、3値論理の概念は古くから漠然と存在していました。しかし、現代的な3値論理は、1920年にヤン・ウカシェヴィッチが発表した論文「On 3-valued logic」から始まったとされています。

3値論理の種類と特徴

3値論理には、第三の値に対する解釈の違いによりいくつかの種類が存在します。ここでは、代表的な3つの形式化について解説します。

ウカシェヴィッチの3値論理

ウカシェヴィッチの3値論理は、1920年にヤン・ウカシェヴィッチによって提唱されました。彼はアリストテレスの未来偶然命題を形式化するためにこの論理を考案しました。

ウカシェヴィッチは、第三の真理値を「不定」（indeterminate）を意味する記号Iで表し、以下の真理関数を用いて論理演算を定義しました。

v(T) = 1
v(F) = 0
v(I) = 0.5
v(A) = v(B) ↔ A = B

これにより、論理演算は以下のようになります。

v(A ∧ B) = min(v(A), v(B))
v(A ∨ B) = max(v(A), v(B))
v(¬A) = 1 - v(A)
v(A → B) = min(1, 1 - v(A) + v(B))

この論理体系では、排中律や無矛盾律が必ずしも成立しません。また、ラッセルのパラドックスにおける矛盾が解消されることが知られています。

無限値論理

ウカシェヴィッチの3値論理は、真理値の数を容易に拡張できる特徴があります。例えば、真理値 T, F, I1, I2 の4値を持つ論理システムを構築することも可能です。この考え方を応用し、ウカシェヴィッチは1930年に [0, 1] の任意の実数を真理値とする無限値論理を提唱しました。

莫少揆のパラドックス

ウカシェヴィッチの3値論理はラッセルのパラドックスを解決しましたが、新たなパラドックス（莫少揆のパラドックス）を導出することも知られています。これは、特定の集合に対する帰属関係が、T, F, I のいずれでも矛盾を生じさせるというものです。

クリーネの3値論理

クリーネの3値論理は、1952年にスティーヴン・コール・クリーネによって、アルゴリズムの停止性についての議論の中で提唱されました。クリーネは、第三の真理値として「未定義」（undefinedness）または「計算中」を意味するUを導入しました。

この3値論理では、論理式の構成要素にUが含まれる場合、結果が真または偽に確定しない場合に、その結果もUとなります。具体的には、以下のようになります。

U ∧ F = F
U ∧ T = U

クリーネの3値論理は、U → U = U を除いてウカシェヴィッチの3値論理と同様です。ただし、この定義は、古典論理では恒真式とされていたA → A = Tが成立しないため、批判されることもあります。

クリーネの3値論理は、SQLなどのデータベースシステムにも応用されています。SQLでは、比較演算にNULLが含まれる場合、結果は真でも偽でもない「不明」（unknown）という値を返します。

ボフバールの3値論理

ボフバールの3値論理は、1939年にドミトリー・ボフバールによって「嘘つきのパラドックス」などの意味論的自己言及のパラドックスを解決するために提唱されました。ボフバールは、第三の真理値として「無意味」（meaningless）を意味するMを導入しました。

この3値論理では、命題の構成要素にMが含まれる場合、その真理値は無条件にMとなります。さらに、言明オペレータTを追加し、T(M) = M、T(T) = T、T(F) = Fと定義しました。

ボフバールの3値論理では、「この文は偽である」という命題の真理値をMとすることで、嘘つきのパラドックスを回避できます。しかし、「この文は偽または無意味である」という強嘘つき文に対しては、依然としてパラドックスが発生します。

コンピュータとの関連

3値論理は、コンピュータ科学における様々な問題解決に応用されています。特に、SQLにおけるNULL値の扱いや、不完全な情報の処理など、従来の二値論理では表現が難しかった事象を扱う際に有効です。

まとめ

3値論理は、古典論理の枠組みを超えて、より複雑な論理構造を表現するための強力なツールです。それぞれの3値論理は、異なる問題や状況に対応するために発展しており、その特徴を理解することで、より柔軟な思考が可能になります。

参考文献

赤間世紀、宮本定明『ソフトコンピューティングのロジック: 「人間の立場」で情報を扱う情報処理技術』工学社〈I・O BOOKS〉、2008年3月。ISBN 978-4-7775-1345-1。
戸田山和久『論理学をつくる』名古屋大学出版会、2000年10月。ISBN 978-4815803902。