多重劣調和函数

多重劣調和函数についての総論

多重劣調和函数（plurisubharmonic function）は、複素解析の領域で特に重要な関数のクラスを指します。通常は psh という略称で知られており、これは複素多様体や解析空間において様々な数学的問題を理解するための基礎を築くものです。この関数は、劣調和関数の一般化であり、特にケーラー多様体に関連するような背景があることが特徴です。

定義

多重劣調和函数は、特定の条件を満たす函数として定義されます。定義域が複素空間 $G imes extbf{R}$ であり、各点において上半連続であることが求められます。具体的には、すべての複素直線に対して、関数が劣調和的であることが必要です。これにより、複素空間の中での様々な特性を捉えることができます。

可微分多重劣調和函数

さらに、可微分な多重劣調和函数に関しては、レヴィ行列が半正定値であることが必要です。この条件は、関数がどのような性質を持つかを決定するために重要です。具体的に、$rac{
u}{ar{z}_{j}}$ に関する2階微分が関与してきます。この特性は、応用においても重要な意味を持ちます。

例と性質

多重劣調和函数の具体例として、複素ユークリッド空間における $
rvert z
rvert^2$ などが挙げられます。この関数は明らかに多重劣調和的であり、実際の応用も多岐にわたります。この他にも、ディラックのデルタ函数や凸関数も多重劣調和函数としての性質を持っています。

特に、連続な多重劣調和函数は、滑らかな多重劣調和函数の極限として得られ、これにより様々な数学的性質を証明することが可能です。さらに、これらの函数の集合は凸な体系を形成し、多重劣調和性が局所的性質であることから、局所的に多重劣調和的であれば、全体でもそうであることが示されます。

応用

多重劣調和函数は、複素解析の実践において極めて重要な役割を果たします。特に、擬凸領域や正則領域における解析において、これらの函数の性質は多くの定理の基礎を成しており、幾何学的な応用に繋がっています。特に岡潔による1939年の理論は、強多重劣調和函数とシュタイン多様体の関係を示すものであり、彼の提唱した定理はこれらの関数理論を一層明確にしました。

歴史

多重劣調和函数の概念は、1942年に岡潔とピエール・ルロンによって同時に提唱されました。この理論は、その後の数学や物理学における多くの発展に寄与し、さらに研究が進む中で新たな応用や関連性が見出されています。

まとめ

多重劣調和函数は、複素解析の基盤を支える重要な概念であり、その数学的性質は多様な応用を持ちます。この理解は、複素解析の多くの問題を解決するための鍵となるでしょう。

もう一度検索