ケーラー多様体

数学の一分野である微分幾何学において、ケーラー多様体（英: Kähler manifold）は、複素多様体としての性質、リーマン多様体としての性質、そしてシンプレクティック多様体としての性質の三つが、互いに整合性を持って共存する特別な多様体です。ドイツの数学者エーリッヒ・ケーラーにその名がちなんでいます。

この多様体の上には「ケーラーポテンシャル」と呼ばれる関数が存在し、多様体の形状を記述するリーマン計量から導かれる接続（レヴィ・チヴィタ接続）が、特定の幾何学的な対象である標準直線束上の接続と関連付けられます。

重要な例としては、滑らかな射影代数多様体が挙げられます。また、小平埋め込み定理によれば、ある種のケーラー多様体は複素射影空間の中に「双正則に埋め込む」、つまり複素構造と幾何構造を保ったまま綺麗に収めることができることが知られています。

定義

ケーラー多様体は、複数の異なる構造を持つため、いくつかの視点から定義することができます。

シンプレクティック多様体として

シンプレクティック形式 ω を持つシンプレクティック多様体 (K, ω) に、概複素構造 J が付与されている場合を考えます。この概複素構造 J が積分可能（つまり、複素多様体の構造を与えるもの）であり、さらにシンプレクティック形式 ω と整合性を持つとき、K はケーラー多様体と呼ばれます。この整合性とは、形式 g(u, v) = ω(u, Jv) によって定義される二次形式が、各点において正定値かつ対称であること、すなわちこれがリーマン計量になっていることを指します。

複素多様体として

一方、ケーラー多様体は、複素多様体として定義することもできます。これは、エルミート形式を持つエルミート多様体のうち、そのエルミート形式が「閉である」という特別な性質を持つものとして捉えられます。この閉じたエルミート形式はケーラー形式と呼ばれます。ケーラー形式は、その定義から自動的にシンプレクティック形式にもなります。

定義の同値性

上述の二つの定義は、実は同じ種類の多様体を指しています。エルミート多様体は、自然なエルミート形式と可積分な概複素構造を備えた複素多様体です。もしエルミート形式が閉形式であれば、これから標準的なシンプレクティック形式を定義でき、これが概複素構造と整合性を持つため、シンプレクティック多様体としての定義を満たします。
逆に、概複素構造と整合性を持つ任意のシンプレクティック形式は、複素微分形式のタイプで表現でき、これが特定の条件（実数値かつ閉じた非退化であること）を満たせば、エルミート形式を定義することが保証されます。

したがって、エルミート形式 h、シンプレクティック形式 ω、概複素構造 J は、リーマン形式 g との間に h = g + iω という関係で密接に結びついており、これらの構造の特定の組み合わせがケーラー多様体を特徴づけていると言えます。

ケーラーポテンシャル

ケーラー多様体 (K, ω) 上のケーラー形式 ω は、局所的にある実数値関数 ρ を用いて ω = (i/2)∂∂̄ρ と表現することができます。ここに ∂ と ∂̄ はドルボー作用素と呼ばれるものです。この関数 ρ はケーラーポテンシャルと呼ばれます。ケーラーポテンシャルが存在することは、ポアンカレの補題により、ケーラー形式が閉形式であることと関連しています。逆に、この形の閉じた形式が正定値であれば、それはケーラー形式となります。

ケーラー多様体とリッチテンソル

ケーラー多様体の幾何学的な性質は、リッチテンソルとも深く関連しています。ケーラー多様体 K 上のリッチテンソルは、ある種のベクトル束（標準束と呼ばれる）の曲率形式を決定します。この曲率形式から定義される「リッチ形式」は閉じた2-形式であり、そのコホモロジー類は標準束の第一チャーン類と一致します。これは多様体の位相的な性質に関わる不変量です。
特に、リッチテンソルがゼロになるケーラー多様体は、ホロノミー群がSU(n)に含まれるという特別な性質を持ちます。

ケーラー多様体上のラプラス作用素とホッジ分解

微分多様体上のラプラス作用素は、ケーラー多様体においては非常に良い性質を持ちます。外微分作用素 d は、複素構造により ∂ と ∂̄ という二つの作用素に分解されます (d = ∂ + ∂̄)。これに伴い、ラプラス作用素も分解され、これらの作用素から定義される複数のラプラス作用素が互いに比例するという関係 (Δd = 2Δ∂̄ = 2Δ∂) が成り立ちます。

この性質は、ケーラー多様体上の微分形式に関するホッジ分解と呼ばれる美しい分解を可能にします。これにより、多様体のコホモロジー群（位相的な情報を持つ）が、その複素構造に由来する部分空間の直和として分解され、ホッジ数と呼ばれる次元が特定の対称性 (h^p,q = h^q,p = h^n-p,n-q) を持つことが示されます。

応用

ケーラー多様体は、アインシュタイン方程式と関連するケーラー・アインシュタイン計量の研究において重要です。特に、コンパクトなケーラー多様体においてリッチテンソルがゼロとなる計量（リッチ平坦計量）の存在を示す「カラビ予想」は、ティエリー・オーバンとシン＝トゥン・ヤウによって解決されました。これは、特定のトポロジーを持つケーラー多様体上に、物理学（超弦理論など）とも関連の深い特別な幾何構造が存在することを示しています。

例

いくつかの典型的なケーラー多様体の例を挙げます。

標準的なエルミート計量を持つ複素ユークリッド空間 Cn。
Cn を格子点で割って得られるトーラス Cn/Λ。
リーマン面（実2次元の多様体）。すべてのリーマン計量がケーラーです。
複素射影空間 CPn。これはフビニ・スタディ計量という特別なケーラー計量を持ちます。
ケーラー多様体の複素部分多様体。例えば、複素ユークリッド空間や複素射影空間に埋め込まれたシュタイン多様体や射影的代数多様体など。
K3曲面と呼ばれる特別な4次元（実8次元）多様体はすべてケーラー多様体です。
* カラビ・ヤウ多様体は、リッチ平坦なケーラー多様体という、ケーラー多様体の重要な部分クラスです。

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