多項式の根

多項式の根：定義、性質、計算方法

多項式とその根に関する詳細な解説です。多項式の根の定義から、根の存在定理、重複度、根の計算方法、そして根と係数の関係性までを網羅的に説明します。

多項式の根の定義

定義: 体K（または可換環）上の多項式P(x)の根とは、P(α) = 0を満たす体Kの元αのことを指します。言い換えれば、多項式方程式P(x) = 0の解、または多項式関数P(x)の零点です。例えば、多項式x² - xの根は0と1です。

多項式の係数が属する体よりも広い体の中にしか根が存在しないこともあります。例えば、有理数係数の多項式x² - 2は、有理数体Qには根を持ちませんが、実数体R（および複素数体C）に根（√2と-√2）を持ちます。

根の個数とダランベール-ガウスの定理

非零多項式の根の個数は、その多項式の次数を超えることはありません。ダランベール-ガウスの定理は、次数nの任意の複素係数多項式が、重複度を込めてn個の根を持つことを保証します。これは、複素数体が代数閉体であることを意味します。

多項式の分解

多項式P(x)が体L上で一次式の積に分解できるとき、P(x)はL上で分解するといいます。このとき、一次式の係数はP(x)の根に関連します。具体的には、L上の根αの重複度がmならば、(x-α)mという因子がm回現れます。

根の重複度

根αの重複度（または位数）とは、多項式P(x)が(x-α)mで割り切れる最大の整数mのことです。m=1のとき、αは単根と呼ばれ、m>1のとき、重根と呼ばれます。多項式が重根を持たない場合、その多項式は分離多項式と呼ばれます。

根の存在

実係数の奇数次多項式は、少なくとも一つ実根を持ちます。これは中間値の定理の系として示すことができます。一般に、任意の多項式に対して、その多項式を分解する最小の拡大体（分解体）が存在し、それは同型を除いて一意的に定まります。

代数閉包

任意の係数を持つ多項式がその体の中で常に分解するような体を代数閉体といいます。複素数体Cは代数閉体であり、これはダランベール-ガウスの定理として知られています。任意の体Kに対して、Kを含む最小の代数閉体（Kの代数閉包）が存在し、同型を除いて一意的に定まります。

根の重複度の判定

多項式P(x)の根αの重複度mは、導関数P'(x)を用いて判定できます。αがP(x)のm位の根であるための必要十分条件は、P(α)=P'(α)=...=P(m-1)(α)=0 かつ P(m)(α)≠0となることです。ただし、標数p>0の体では、この判定法は適用できません。

根と係数の関係

多項式の根と係数の間には、様々な関係式が存在します。例えば、二次方程式ax²+bx+c=0の解をα、βとすると、α+β=-b/a, αβ=c/aの関係が成り立ちます。一般に、n次方程式の根と係数の関係は、対称式を用いて表すことができます。

根の計算方法

多項式の根を求めるための数値計算法として、様々なアルゴリズムが存在します。例えば、ニュートン法、二分法、ミュラー法などがあります。ミュラー法は、多項式を二次多項式で近似し、反復的に根に近づいていく方法です。

まとめ

本稿では、多項式の根に関する基本的な概念と性質、そしてその計算方法について解説しました。多項式の根は、代数学における重要な概念であり、様々な分野で応用されています。より深い理解のためには、代数学の教科書を参照することをお勧めします。

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