大数の法則

大数の法則

大数の法則（たいすうのほうそく、英: Law of Large Numbers, LLN）とは、確率論と統計学において重要な役割を果たす基本定理の一つです。この法則は、無限に近い試行回数において、確率変数の標本平均がその期待値に収束することを示しています。特に、この定理は統計学的確率が公理的確率と矛盾しないことを保証するため、基礎的な理論の一つとして位置づけられています。

具体例と概念の理解

この法則を理解するために、サイコロを振る例を考えましょう。サイコロを振った結果を記録し、その記録を元に計算した標本平均は、試行回数が増えるにつれて、サイコロの出目の期待値である3.5に近づいていきます。この現象が大数の法則の本質的な帰結であり、数が十分に増えると、出た目の頻度が期待される確率に限りなく近づくことが示されています。

さらに、大数の法則は「独立同分布に従う可積分系確率変数列の標本平均は、平均に収束する」と述べられます。具体的には、事象の起こる確率をpとし、その試行を繰り返しても各結果に影響を及ぼさない場合、試行回数が無限大に近づくにつれ、その事象の相対度数（発生回数の割合）が確率pに収束します。この結果は、統計的な確率と公理的な確率が等しいことを裏付ける重要な根拠となります。

コイントスによる例

例えば、公正なコインを投げる場合を考えてみましょう。表と裏が出る確率は共に1/2であり、十分な回数コインを投げ続けると、表が出る回数と裏が出る回数の比は1/2に限りなく近づきます。このように、試行回数が有限の間は完全には一致しませんが、限界値としては一致することが大数の法則によって示されています。この事例は、大数の法則の視覚的で直感的な理解を助けるものです。

数学的な定式化

大数の法則には、強法則と弱法則があります。弱法則は、独立同分布に従う確率変数の標本平均が、その期待値に近づく確率が、試行回数を増やすことで0に収束することを示します。一方で、強法則はより厳密な形で、標本平均がほぼ確実に期待値に収束することを保証します。即ち、試行回数nが無限の時、標本平均が期待値に収束する確率は1となります。

実際的な適用と限界

ただし、大数の法則は期待値の存在と事象の独立性を前提としています。具体的には、期待値の存在しない分布（例：コーシー分布など）においては、必ずしも適用されるわけではありません。このような状況では、統計的な結論が異なった形になる可能性があります。つまり、大数の法則を適用する際は、その条件をきちんと確認する必要があります。

結論

大数の法則は、確率論と統計学の根幹をなす理論であり、確率的な現象の理解に不可欠です。この法則のおかげで、あらゆるランダムな試行の長期的な挙動を予測することが可能となるため、経済学や自然科学など幅広い分野で応用されています。

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