完全加法族

完全加法族の概念

数学において、完全加法族は測度を定義するための重要な概念です。この完全加法族は、特定の特性を持つ集合の集まりであり、通常は測度論や確率論において広く利用されます。特に、測度が定義される集合全体をまとめた集合族は間違いなく完全加法族となります。

完全加法族は、可算加法族やσ-集合代数とも呼ばれます。これらの用語は、同じ概念を指していることが多く、特にルベーグ積分や確率論における基礎となる事実と密接に関連しています。完全加法族という用語は、「加法族」という言葉として使われることが一般的であるため、新たに加法族と呼ぶ際は注意が必要です。

定義と特性

完全加法族を定義するには、集合 X 上のσ-集合代数を考えます。これは、集合 X の部分集合から成る族で、次の性質を満たします：

1. 空でない：少なくとも一つの部分集合がこの族に含まれる。
2. 補演算に関して閉じている：もし A がこの族に属するならば、その補集合もまたこの族に属する。
3. 可算合併に関して閉じている：A1, A2, A3, ... が族に含まれるならば、その合併も族に含まれます。

このように、完全加法族やσ-集合代数の定義は、集合が示す性質に基づいています。特に、最初の公理があるため、全体集合や空集合を含むことも示されます。実際、空でない集合が接頭辞なしで σ-集合代数として認識される場合もあるので、注意が必要です。

実例

例えば、X = {a, b, c, d} の場合、次のような完全加法族が存在します：

Σ = {∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}}.

また、実数直線における最も有用な例は、すべての開区間から出発して、それらの可算合併や交差、補集合を取ることから得られるボレルσ-集合代数です。この構成により、最小の完全加法族が形成されます。

測度の概念

測度は、集合 X の部分集合に実数を割り当てる写像であり、大きさや容積の概念を示します。理想的には、相互に素な集合の合併の測度は、個々の測度の合計に等しくなります。特に、可測集合の無限列に対しても同様の性質が成り立つことを求めています。しかし、選択公理により、実数直線の部分集合で通常の「長さ」で測定できない部分集合が存在します。このような理由から、測度を定義できる特別な部分集合に焦点を当てる必要があります。このような特性を持つ集合は一般に「可測集合」と呼ばれ、対応する族は可測集合に対して期待される演算によって閉じています。

σ-集合代数の生成

任意の部分集合族 F が与えられた場合、F に属する元を含む最小のσ-集合代数が存在します。このσ-集合代数は、F が生成するσ-集合代数として記述されます。実際、F を含むσ-集合代数の交わりは、その交点もまたσ-集合代数になります。例えば、集合 X = {1, 2, 3} において、単元集合 {1} から生成されるσ-集合代数は {∅, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}} となります。

結論

完全加法族は数学特に測度論において不可欠な要素です。これは、集合の性質を理解し、測度を定義するための基礎として機能します。この概念を深く理解することは、解析学や確率論のさらなる研究において非常に重要です。

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