完全関係

完全関係（Total relation）とは

数学における二項関係の一種である完全関係は、特定の集合における要素間の関係性を定義する上で重要な概念です。集合Xにおける二項関係Rが完全であるとは、Xに属する任意の二つの要素aとbに対して、aRb（aとbの間に関係Rがある）またはbRa（bとaの間に関係Rがある）、あるいはその両方が必ず成り立つことを意味します。

数学的定義

完全関係は、数学的には以下のように表現されます。

math
\forall a, b \in X, \ aRb \lor bRa


ここで、\(\forall\)は「すべての」を意味する記号、\(\in\)は「～に属する」を意味する記号、\(\lor\)は「または」を意味する論理記号です。

この定義から、集合Xの任意の二つの要素を選んだとき、それらの間には必ず関係Rが成り立つことがわかります。この関係は一方向である必要はなく、双方向でも構いません。

完全関係の特徴

1. 反射関係を含む: 完全関係は、反射関係（aRaが成り立つ関係）を含む場合があります。
2. 比較可能性: 完全関係がある場合、集合内のすべての要素は、互いに「比較可能」であると言えます。これは、任意の二要素を取り出したとき、それらの大小関係や順序関係が必ず決定できることを意味します。

完全関係の例

例1：「- 以下」の関係

実数の集合における「- 以下」という関係は完全関係です。なぜなら、任意の実数aとbを選んだとき、aがb以下であるか、bがa以下であるかのどちらかが必ず成り立つからです。

例2：「- 未満」の関係

実数の集合における「- 未満」という関係は完全関係ではありません。例えば、同じ数aを選んだ場合、aがa未満という関係は成り立たないためです。

例3：「（A は B の）真部分集合である」の関係

集合の包含関係における「（A は B の）真部分集合である」という関係も完全関係ではありません。例えば、同じ集合同士は真部分集合の関係にはないためです。

関連概念

全擬順序（Total preorder）

推移関係（aRbかつbRcならばaRc）が完全関係でもある場合、その関係は全擬順序と呼ばれます。全擬順序は、要素間に順序があるものの、厳密な大小関係までは定義できない場合があります。

全順序（Total order）

半順序（反射律、反対称律、推移律を満たす関係）が完全関係でもある場合、その関係は全順序と呼ばれます。全順序は、集合内のすべての要素が、厳密な大小関係によって完全に並べ替えられる関係を意味します。例えば、実数における大小関係は全順序の例です。

まとめ

完全関係は、集合論や順序理論において重要な概念であり、要素間の関係性を明確に定義するために役立ちます。特に、順序関係を扱う際には、全擬順序や全順序といった概念と合わせて理解することで、より深く数学的な構造を理解することができるでしょう。

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