完全関手

完全関手 (Exact Functor)

ホモロジー代数や圏論において、完全関手は極めて重要な概念です。これは、圏の対象と射の間の代数的な関係性、特に「完全列」と呼ばれる特定の構造を、関手が別の圏へ移す際に保つ性質を持つ関手を指します。対象の構造や関係性をそのまま反映できるため、様々な数学的対象の解析に役立ちます。一方、完全関手にならない場合でも、その「不完全さ」を定量的に把握・制御するための理論（導来関手など）も発展しており、ホモロジー代数の研究の中心的なテーマの一つとなっています。

定義

二つのアーベル圏 ${P}$ と ${Q}$ の間の共変加法的関手 ${F: P \to Q}$ を考えます（ここで、加法的とは加群の準同型写像のような構造を保ち、特に零対象を零対象に移す性質を意味します）。

${P}$ における次の短完全列


0 → A → B → C → 0


に対して、関手 ${F}$ を適用した系列


F(A) → F(B) → F(C)


がどのように完全になるかによって、関手 ${F}$ の「完全性」の度合いが定義されます。

この系列 ${F(A) → F(B) → F(C)}$ が完全列となる場合、${F}$ は半完全であるといいます。
系列 ${0 → F(A) → F(B) → F(C)}$ が完全列となる場合、${F}$ は左完全であるといいます。
系列 ${F(A) → F(B) → F(C) → 0}$ が完全列となる場合、${F}$ は右完全であるといいます。
系列 ${0 → F(A) → F(B) → F(C) → 0}$ が完全列となる場合、${F}$ は完全であるといいます。

${P}$ から ${Q}$ への反変加法的関手 ${G}$ についても同様の定義がなされます。反変関手は射の向きを逆にするため、定義に用いる系列は逆順になります。


G(C) → G(B) → G(A)


${G(C) → G(B) → G(A)}$ が完全列のとき、${G}$ は半完全です。
${0 → G(C) → G(B) → G(A)}$ が完全列のとき、${G}$ は左完全です。
${G(C) → G(B) → G(A) → 0}$ が完全列のとき、${G}$ は右完全です。
${0 → G(C) → G(B) → G(A) → 0}$ が完全列のとき、${G}$ は完全です。

これらの定義は、必ずしも短完全列全体を考える必要はなく、より短い完全列に対する性質として言い換えることも可能です。例えば、共変関手 ${F}$ が左完全であることと、「${0 → A → B → C}$ が完全列ならば ${0 → F(A) → F(B) → F(C)}$ も完全列となる」ことは同値です。同様に、右完全性は「${A → B → C → 0}$ が完全列ならば ${F(A) → F(B) → F(C) → 0}$ も完全列となる」ことと同値であり、完全性は「${A → B → C}$ が完全列ならば ${F(A) → F(B) → F(C)}$ も完全列となる」ことと同値です。

例

完全関手や左/右完全関手の例は様々です。

アーベル圏の間の圏同値や双対性を与える関手は完全関手です。
最も基本的な例として、Hom関手 ${Hom_A(X, -)}$ （共変）と ${Hom_A(-, X)}$ （反変）は一般に左完全です。これらが完全になるのは、対象 ${X}$ がそれぞれ射影的または入射的である場合に限られます。
環 ${R}$ 上の右加群 ${T}$ に対し、関手 ${T \otimes_R -}$ （共変）は一般に右完全です。これが完全になるのは、加群 ${T}$ が平坦加群である場合に限られます。
位相空間 ${X}$ 上のアーベル群の層の圏において、大域切断を取る関手 ${F \mapsto F(X)}$ は左完全です。
二つのアーベル圏 ${A}$ と ${B}$ の間の関手を対象とする関手圏 ${B^A}$ から ${B}$ への評価関手 ${E_A: B^A \to B}$ は完全関手です。

性質と定理

共変関手 ${F}$ が左完全であることと、${F}$ が有限極限と可換である（有限極限を有限極限に移す）ことは同値です。同様に、${F}$ が右完全であることと、${F}$ が有限余極限と可換であることは同値です。完全関手は左完全かつ右完全であることと同値であり、したがって有限極限と有限余極限の両方と可換です。
反変関手についても同様で、左完全性は有限余極限と可換であること、右完全性は有限極限と可換であることと同値になります。
完全関手にならない関手（特に左完全または右完全だが完全ではない関手）の「不完全さ」の度合いは、導来関手によって測ることができます。左完全関手に対しては右導来関手、右完全関手に対しては左導来関手が定義されます。
二つの関手 ${F}$ と ${G}$ の間に随伴関係がある場合、${F}$ が ${G}$ の左随伴であるならば、${F}$ は右完全関手であり、${G}$ は左完全関手となります。

一般化

完全関手の概念は、アーベル圏に限定されず、より一般的な圏においても定義されることがあります。例えば、有限射影極限（または入射極限）を持つ圏 ${C}$ から別の圏 ${C'}$ への関手 ${u}$ が左完全（または右完全）であるとは、その関手が射影極限（または入射極限）と可換であることとして定義されます。この一般的な定義は、特定の条件下で関手が表現可能であることと同値になるなど、抽象的でありながらも有用な結果をもたらします。

参照:

Jacobson, Nathan. Basic Algebra II. 2nd ed. Dover, 2009.
Grothendieck, Alexander. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1963–64, Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas, Tome 1 (SGA 4, Tome 1)*. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269. Springer-Verlag, 1972.

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